Question

如圖，ABCD是邊長為4cm的正方形，M是CD的中點(diǎn)，有一動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→B→C→D→A方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），△APM的面積為S（cm²）．
（1）當(dāng)t=3時(shí)，求S；
（2）當(dāng)t=7時(shí)，求S；
（3）當(dāng)4＜t≤8時(shí)，試確定t與S的函數(shù)關(guān)系式；
（4）當(dāng)8＜t≤16且t≠10時(shí)，試確定t與S的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意作圖，根據(jù)圖形可求得△APM的高M(jìn)N的長，又由S=

1

2

PA•MN，即可求得S的值；
（2）首先根據(jù)題意作圖，由題意求得BP，CP，CM，DM的長，又由S=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABP-S_△PCM，即可求得S的值；
（3）當(dāng)4＜t≤8時(shí)，可知P在BC上，根據(jù)（2）的解題方法，首先求得BP，CP，CM，DM的長，又由S=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABP-S_△PCM，即可確定t與S的函數(shù)關(guān)系式；
（4）分別從8＜t＜10，10＜t≤12與12＜t≤16去分析，分別作出圖形，根據(jù)圖形求得△APM的面積S的值，即可求得t與S的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）當(dāng)t=3時(shí)，如圖：
過點(diǎn)M作MN⊥AB于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形MNBC是矩形，
∴MN=AD=4，
根據(jù)題意得：PA=3，
∴S=

1

2

PA•MN=

1

2

×3×4=6；

（2）當(dāng)t=7時(shí)，如圖：
根據(jù)題意得：AB+BP=7，AB=BC=CD=4，
∴BP=3，CP=1，
∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，
∴DM=CM=

1

2

CD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABP-S_△PCM=4×4-

1

2

×4×3-

1

2

×1×2-

1

2

×2×4=5；

（3）當(dāng)4＜t≤8時(shí)，如圖：
根據(jù)題意得：AB+BP=t，AB=BC=CD=4，
∴BP=t-4，CP=8-t，
∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，
∴DM=CM=

1

2

CD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△ADM-S_△ABP-S_△PCM=4×4-

1

2

×4×（t-4）-

1

2

×（8-t）×2-

1

2

×2×4=12-t；
∴當(dāng)4＜t≤8時(shí)，t與S的函數(shù)關(guān)系式為S=12-t；

（4）當(dāng)8＜t＜10時(shí)，如圖1：
根據(jù)題意得：AB+BC+CP=t，AB=BC=CD=4，
∴CP=t-8，
∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，
∴DM=CM=

1

2

CD=2，
∴PM=CM-CP=2-（t-8）=10-t，
∴S=

1

2

MP•AD=

1

2

×（10-t）×4=20-2t；
當(dāng)10＜t≤12時(shí)，如圖2：
根據(jù)題意得：AB+BC+CP=t，AB=BC=CD=4，
∴CP=t-8，
∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，
∴DM=CM=

1

2

CD=2
∴PM=CP-CM=（t-8）-2=t-10，
∴S=

1

2

MP•AD=

1

2

×（t-10）×4=2t-20；
當(dāng)12＜t≤16時(shí)，如圖3：
根據(jù)題意得：AB+BC+CD+DP=t，AB=BC=CD=AD=4，
∴DP=t-12，
∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，
∴DM=CM=

1

2

CD=2，
∴S=S_{正方形ABCD}-S_△DPM-S_梯形ABCM=4×4-

1

2

×2×（t-12）-

1

2

×（2+4）×4=16-t；
∴當(dāng)8＜t≤16且t≠10時(shí)，t與S的函數(shù)關(guān)系式為：S=

20-2t  (8＜t＜10) 2t-20  (10＜t≤12) 16-t     (12＜t≤16)

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)以及三角形的面積的求解方法，考查了動(dòng)點(diǎn)問題．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．