Question

已知，AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=α，M、N分別是AD、CE的中點(diǎn)．

（1）如圖1，若α=60゜，求∠BMN；
（2）如圖2，若α=90゜，∠BMN=______；
（3）將圖2的△BDE繞B點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一銳角，在圖3中完成作圖，則∠BMN=______．

Answer 1

解：（1）如圖1，連接BN，
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
即∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠DAB=∠ECB，AD=CE，
又∵M(jìn)、N分別是AD、CE的中點(diǎn)，
∴AM=CN，
在△AMB和△CNB中，，
∴△AMB≌△CNB（SAS），
∴BM=BN，∠ABM=∠CBN，
∴∠MBN=∠CBN+∠CBM=∠ABM+∠CBM=∠ABC=60°，
∴△BMN是等邊三角形，
∴∠BMN=60°；

（2）如圖2，同理可求BM=BN，∠MBN=∠ABC=90°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴∠BMN=45°；

（3）如圖3，與（2）的解答相同，∠BMN=45°．
分析：（1）連接BN，求出∠ABD=∠CBE，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DAB=∠ECB，全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD=CE，再求出AM=CN，然后利用“邊角邊”證明△AMB和△CNB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BM=BN，∠ABM=∠CBN，然后求出∠MBN=∠ABC=60°，判斷出△BMN是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BMN=60°；
（2）連接BN，與（1）同理可求BM=BN，∠MBN=∠ABC=90°，判斷出△BMN是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BMN=45°；
（3）與（2）求解相同．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，此類題目往往求解思路相同，本題求出BM=BN，∠MBN=∠ABC是解題的關(guān)鍵．