Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)與Rt△EFG的直角邊EF的長(zhǎng)均為4cm，F(xiàn)G=8cm，AB與FG在同一條直線l上、開(kāi)始時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，讓Rt△EFG以每秒1cm速度在直線l上從右往左移動(dòng)，直至點(diǎn)G與點(diǎn)B重合為止．設(shè)x秒時(shí)Rt△EFG與正方形ABCD重疊部分的面積記為ycm²．
（1）當(dāng)x=2秒時(shí)，求y的值；
（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=2時(shí)，F(xiàn)B=2，根據(jù)FG的長(zhǎng)可求出BG的值，利用△ECH∽△GBH所得比例線段即可求得BH的長(zhǎng)，由于陰影部分是個(gè)直角梯形，根據(jù)梯形的面積公式即可求解．
（2）此題要根據(jù)F點(diǎn)的不位置分情況討論，當(dāng)F、A重合時(shí)，x=4，那么可分兩種情況：
①0＜x≤4時(shí)，此種情況與（1）題相同，可按照（1）題的方法，先求得BH的值，然后按梯形的面積公式求解；
②4＜x≤8時(shí)，重合部分仍是直角梯形，只不過(guò)需要分兩步求出AK、BH的長(zhǎng)，方法同上．

解答：解：（1）當(dāng)x=2時(shí)，如圖，
∵△ECH∽△GBH，
∴

EC

BG

=

2

6

=

CH

BH

=

4-BH

BH

，∴BH=3（2分）
∴y=

(3+4)×2

2

=7．（2分）（只要求得y=7可得4分）

（2）同理當(dāng)0≤x≤4時(shí)，

EC

BG

=

x

8-x

=

CH

BH

=

4-BH

BH

，
∴BH=

8-x

2

，（1分）
∴y=

( 8-x 2 +4)x

2

=-

1

4

x2+4x（0≤x≤4）；（2分）
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，如圖，
仍有BH=

8-x

2

，
且

KA

EF

=

AG

FG

?

KA

4

=

12-x

8

?KA=

12-x

2

．（1分）
∴y=

( 8-x 2 + 12-x 2 )4

2

=20-2x（4＜x≤8）．（2分）
（各解析式（2分）、取值范圍（1分）；不等號(hào)寫≤或＜淡化要求，不扣分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及梯形面積的計(jì)算方法，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度適中．