Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是對角線BD的中點，直角∠GEF的兩直角邊EF、EG分別交CD、BC于點F、G．

（1）若點F是邊CD的中點，求EG的長．

（2）當直角∠GEF繞直角頂點E旋轉，旋轉過程中與邊CD、BC交于點F、G．∠EFG的大小是否發生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出tan∠EFG的值．

（3）當直角∠GEF繞頂點E旋轉，旋轉過程中與邊CD、BC所在的直線交于點F、G．在圖2中畫出圖形，并判斷∠EFG的大小是否發生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請直接寫出tan∠EFG的值．

（4）如圖3，連接CE交FG于點H，若，請求出CF的長．

Answer 1

【答案】（1）EG=3；（2）不變， tan∠EFG=；（3）不變化．tan∠EFG=；（4）．

【解析】

(1)根據點E是對角線的中點，點F是CD的中點，可證EF∥BC，再根據∠GEF=90°，∠C=90°可得四邊形EGCF為矩形，則點G是BC的中點，則可解得EG的長；

（2）作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，得矩形ENCM，易證得△GEN∽△FEM，則有

，所以tan∠EFG=，且∠EFG不變化；

(3)畫出圖形，仿照（2）中分析過程，即可得出∠EFG不變化，且tan∠EFG=；

(4) 過E分別做ET⊥GF于T，EU⊥CD于U，由tan∠EFG=可設EG=3a，EF=4a，

則GF=5a，ET=，GT=，由可求出FH=，GH=，進而分別求出EH和CH的長，易證ΔFHC∽ΔEHG，則，由此求出a值，進而分別EF、UF的長，即可求出CF的長.

（1）∵E、F為BD、CD的中點

∴EF為△BCD的中位線

∴EF=BC=4， EF∥BC

∵矩形ABCD中，∠C=90°

∴∠EFC=90°

∵∠GEF=90°

∴四邊形EGCF為矩形

∴EG=FC==3，

（2）不變化．

如圖，作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，得矩形ENCM，

∴∠NEM=90°

∵∠GEF=90°

∴∠GEN=∠FEM

∴△GEN∽△FEM

∴

即 tan∠EFG=；

（3）如圖所示，不變化．tan∠EFG=;

理由：作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，得矩形ENCM，

∴∠NEM=90°

∵∠GEF=90°

∴∠GEN=∠FEM，又∠ENG=∠EMF=90，

∴△GEN∽△FEM

∴

即 tan∠EFG=；

(4)過E分別做ET⊥GF于T，EU⊥CD于U，

∵tan∠EFG=，∠GEF=90，

故可設EG=3a，EF=4a，

則GF=5a，ET=，GT=，

∵，

∴FH=，GH=，

∴HT=GH-GT=-=，

∴EH===，

∵∠BCD=90，BC=8，AB=CD=6，

∴BD=10，又E是BD的中點，

∴CE=BD=5，

∴CH=CE-EH=5-，

∵tan∠CE=，tan∠EGF=，

∴∠UCE=∠EGF，又∠CHF=∠EHG，

∴ΔFHC∽ΔEHG，

∴，即，

∴×(5-)=×，

∴，

∴EF=，

∴UF==，

∴CF=CU-UF=3-=.