Question

【題目】已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A，D，E，F按逆時針排列），使∠DAF=60°，直線EF與直線BC交于H.

（1）如圖①，當點D在邊BC上時，試說明：；

（2）如圖②，當點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結論；是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出AD、DH、AC之間存在的數量關系；

（3）如圖③，當點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AD、DH、AC之間存在的數量關系.

圖1 圖2 圖3

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立；（3）補圖見解析，數量關系.

【解析】分析：（1）通過△ACD∽△DEH的對應邊成比例得到，即=，則AD2=DHAC；

（2）圖（2）中，AD2=DHAC仍然成立．易證△ACD∽△DEH，則該相似三角形的對應邊成比例：，即=，則AD2=DHAC；

（3）如圖3，解題思路同（2）．易證△ACD∽△DEH，則該相似三角形的對應邊成比例：，即=，則AD2=DHAC．

詳解：（1）∵四邊形ADEF是菱形，∠DAF=60°，

∴AD∥EF，∠DAF=∠E=60°，AD=DE，∴∠1=∠2．

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACD=60°，∠ACD=∠E，∴△ACD∽△DEH，∴，即=，∴AD2=DHAC；

（2）結論是：圖（2）中，AD2=DHAC仍然成立．

理由如下：如圖2．

∵在菱形ADEF中，AD∥EF，∠DAF=∠E=60°，AD=DE，∴∠ADC=∠DHE，∠DEF=120°．

又∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACD=120°，∴∠ACD=∠DEH，∴△ACD∽△DEH，∴，即=，則AD2=DHAC；

（3）補全圖形是如圖3．數量關系AD2=DHAC．理由同（2）．