Question

【題目】如圖①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點，過O點作BC平行線交AB、AC于E、F.

探究一：請寫出圖①中線段EF與BE、CF間的關系，并說明理由.

探究二：如圖②，△ABC若∠ABC的平分線與△ABC的外角平分線交于O，過點O作BC的平行線交AB于E，交AC于F.這時EF與BE、CF的關系又如何? 請直接寫出關系式，不需要說明理由.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：由O平分∠ABC與EF∥BC，易證得∠ABO=∠EOB，即可證得EO=BE；
探究一：同上題，可得OE=BE，OF=CF，繼而可證得EF=BE+CF．
探究二：同理可證得：OE=BE，OF=CF，繼而可證得EF=BE-CF．

試題解析：

證明：∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，
∴EO=BE；
探究一：EF=BE+CF．
理由：∵EO=BE，
同理可證：OF=CF，
∴EF=BE+CF；
探究二：EF=BE-CF．
理由：∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠ABO=∠EOB，
∴EO=BE；
同理可得：OF=CF，
∴EF=OE-OF=BE-CF．