Question

如圖1，一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂兩個三角形（如圖2），將紙片△AC₁D₁沿直線D₂B（AB）方向平移（點A、D₁、D₂、B始終在同一直線上），當點D₁與點B重合時，停止平移．在平移過程中，C₁D₁與BC₂交于點E，AC₁與C₂D₂、BC₂分別交于點F、P．
（1）當△AC₁D₁平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的D₁E與D₂F的數量關系，并證明你的猜想；
（2）設平移距離D₂D₁為x，△AC₁D₁與△BC₂D₂重疊部分面積為y，請寫出y與x的函數關系式，并求出函數y的最值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁，根據兩直線平行，同位角相等，及等腰三角形的性質，可得到AD₂=D₂F；同理：BD₁=D₁E，即可得出D₁E=D₂F．
（2）由題意，D₂D₁=x，則D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距離就是△ABC的AB邊上的高，根據△ABC的面積可得高為

24

5

，設△BED₁的BD₁邊上的高為h，可證△BC₂D₂∽△BED₁，所以

h

24 5

=

5-x

5

；分別表示出△BED₁和
△FC₂P的面積，根據重疊部分面積為y=S_△BC₂D₂-S_△BED₁-S_△FC₂P，可求出y與x的函數關系式，求出最小值即可；

解答：解：（1）D₁E=D₂F．
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂，
又∵∠ACB=90°，CD是斜邊上的中線，
∴DC=DA=DB，即C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁，
∴∠C₁=∠A，
∴∠AFD₂=∠A，
∴AD₂=D₂F；同理：BD₁=D₁E，
又∵AD₁=BD₂，
∴AD₁-D₁D₂=BD₂-D₁D₂，
∴AD₂=BD₁，
∴D₁E=D₂F；

（2）由題意得AB=10，AD₁=BD₂=C₁D₁=C₂D₂=5，
又∵D₂D₁=x，
∴D₁E=BD₁=D₂F=AD₂=5-x，
∴C₂F=C₁E=x，
在△BC₂D₂中，C₂到BD₂的距離就是△ABC的AB邊上的高，
∴根據△ABC的面積可得高為

24

5

，
設△BED₁的BD₁邊上的高為h，可證△BC₂D₂∽△BED₁，
∴

h

24 5

=

5-x

5

；
∴h=

24(5-x)

25

，S_△BED1=

1

2

×BD1×h=

12

25

(5-x)2，
又∵∠C₁+∠C₂=90°，
∴∠FPC₂=90°，
又∵∠C₂=∠B，sinB=

4

5

，cosB=

3

5

，
∴PC2=

3

5

x，PF=

4

5

x，S_△FC2P=

1

2

PC₂×PF=

6

25

x2，
∴y=S_△BC2D2-S_△BED1-S_△FC2P=

1

2

S_△ABC-

12

25

(5-x)2-

6

25

x2，
∴y=-

18

25

x2+

24

5

x=-

18

25

(x-

10

3

)2+8；
∴函數y的最小值是8．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質、平移的性質和二次函數的最值等知識，本題涉及的知識點較多，考查了學生的綜合運用能力．