Question

【題目】如圖，在⊙O中，弦AD、BC相交于點E，連接OE，已知AD=BC，AD⊥CB．

（1）求證：AB=CD； （2）如果⊙O的半徑為5，DE=1，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）7.

【解析】

（1）欲證明AB=CD，只需證得=；
（2）如圖，過O作OF⊥AD于點F，作OG⊥BC于點G，連接OA、OC．構建正方形EFOG，利用正方形的性質，垂徑定理和勾股定理來求AF的長度，則易求AE的長度．

（1）證明：如圖，∵AD=BC，

∴=，

∴﹣=﹣，即=，

∴AB=CD；

（2）如圖，過O作OF⊥AD于點F，作OG⊥BC于點G，連接OA、OC．

則AF=FD，BG=CG．

∵AD=BC，

∴AF=CG．

在Rt△AOF與Rt△COG中，

，

∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），

∴OF=OG，

∴四邊形OFEG是正方形，

∴OF=EF．

設OF=EF=x，則AF=FD=x+1，

在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2=52，

解得 x=3．

則AF=3+1=4，即AE=AF+3=7．