Question

如圖，梯形中，∥，，，．動點從點出發，以每秒個單位長度的速度在線段上運動；動點同時從點出發，以每秒個單位長度的速度在線段上運動．以為邊作等邊△，與梯形在線段的同側．設點、運動時間為，當點到達點時，運動結束．

 

  （1）當等邊△的邊恰好經過點時，求運動時間的值；

  （2）在整個運動過程中，設等邊△與梯形的重合部分面積為，請直接寫出與之間的函數關系式和相應的自變量的取值范圍；

  （3）如圖，當點到達點時，將等邊△繞點旋轉()，

直線分別與直線、直線交于點、．是否存在這樣的，使△ 為等腰三角形？若存在，請求出此時線段的長度；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）4s（2）

（3）DM的長為：

【解析】（1）當EG經過點A時

     ∴△EGF為等邊△

     ∴∠AEF＝60⁰＝∠B+∠BAE

     ∴∠BAE＝∠B＝30⁰

     ∴BE＝AE＝t＝EF

     ∴此時G與A,重合

     ∴在Rt△BAF中

      2t•cos30⁰=4

      t=4s              ......3分

 （2）.................8分

  （3）存在；①當M點在線段CD上時，

       △DMN為等腰三角形

       當MD＝MN

       此時：∠C＝∠1＝∠N=∠CDN＝30⁰

       ∴ME＝MC

      作MH⊥CE

      EH=

      ∴

      ∴DM=

      當D＝D時

      此時

      D＝，不存在

      當ND＝NM時，則∠NDM＝∠DMN＝30⁰，則M不在線段CD上. ∴舍

②當M在CD延長線上時

  當N₁D=N₁M₁時

   ∠1＝∠M₁,又∠1＝∠2

   ∴∠2＝∠

   ∴EM₁=CE=

   過E作EH⊥CM₁

   則CM₁=2CH=2×CE•cos30⁰

    =

   ∴DM₁=

   當DM₂=DN₂時

   可知CM₂=CE=

   ∴DM₂=

   當M₃D=M₃N時

   此時∠M₂N₂D=∠1=30°

   ∴此時：∠M₃EC=30⁰

   則M不在CD延長線上

   ∴舍去

③當M在DC延長線上時

   ∵∠D為150⁰

   ∴△DMN為等腰△時

    只有DM＝DN

   則：∠N＝∠1＝∠2＝∠M

   ∴CE＝CM＝

   ∴DM＝4

綜上所述DM的長為：.................12分

本試題主要是考查了等邊△與梯形的重合部分面積為與時間之間的函數關系式，以及利用三角形中的三角函數值得到邊長問題的綜合運用。

（1）當EG經過點A時

     ∴△EGF為等邊△

     ∴∠AEF＝60⁰＝∠B+∠BAE

     ∴∠BAE＝∠B＝30⁰

     ∴BE＝AE＝t＝EF

     ∴此時G與A,重合

     ∴在Rt△BAF中

      2t•cos30⁰=4

      t=4s

（2）根據時間與面積的關系式需要分情況討論得到。

（3）當點到達點時，將等邊△繞點旋轉()，

直線分別與直線、直線交于點、．假設存在這樣的，使△ 為等腰三角形

那么要對點M是在線段CD上，還是在線段CD的延長線上，還是在DC的延長線上三種情況來分析即可。