Question

在平面直角坐標系中,已知二次函數的圖象經過點和點,直線經過拋物線的頂點且與軸垂直,垂足為.

1.求該二次函數的表達式；

2.設拋物線上有一動點從點處出發沿拋物線向上運動,其縱坐標隨時間

≥)的變化規律為.現以線段為直徑作.

①當點在起始位置點處時,試判斷直線與的位置關系,并說明理由；在點運動的過程中,直線與是否始終保持這種位置關系? 請說明你的理由；

②若在點開始運動的同時,直線也向上平行移動,且垂足的縱坐標隨時間的變化規律為,則當在什么范圍內變化時,直線與相交? 此時,若直線被所截得的弦長為,試求的最大值.

 

Answer 1

【答案】

 

1.將點和點的坐標代入,得,解得,

∴二次函數的表達式為

2.①當點在點處時,直線與相切,理由如下:

∵點,∴圓心的坐標為,∴的半徑為,

又拋物線的頂點坐標為(0,－1),即直線l上所有點的縱坐標均為－1,從而圓心C到直線l的距離為,∴直線與相切. 

在點運動的過程中,直線與始終保持相切的位置關系,理由如下:

方法一: 設點,則圓心的坐標為,∴圓心C到直線l的距離為,又∵,∴,則的半徑為,

∴直線與始終相切.  

方法二: 設點≥1),則圓心的坐標為,

∴的半徑為,

而圓心C到直線l的距離為,

∴直線與始終相切

②由①知,圓C的半徑為.

又∵圓心C的縱坐標為,直線l上的點的縱坐標為,所以

(ⅰ)當≥,即≤時,圓心C到直線l的距離為

,則由,得,解得,

∴此時≤；

(ⅱ)當＜,即＞時,圓心C到直線l的距離為

,則由,得,解得,

∴此時＜； 

綜上所述,當時,直線與相交. 

(說明: 若學生就寫成≤或＜,得全分；若學生依據直觀,只考慮圓心C在直線l下方的情況,解出后,就得,也給全分)

∵當時,圓心C到直線l的距離為,又半徑為,

∴,  

∴當時, 取得最大值為.

【解析】

1.所求函數的解析式中有兩個待定系數，直接將A、B兩點坐標代入即可得解．

2.①由于OP是⊙C的直徑，根據P點的縱坐標可表示出C點的縱坐標，進而能表示出C到直線l的距離；OP長易得，然后通過比較⊙C的半徑和C到直線l的距離，即可判定直線l與⊙C的位置關系．

②該題要分兩問來答，首先看第一問；該小題的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直線l與點C的位置關系（需要考慮到C到直線l的表達方式）．

在第二問中，a²最大，那么a最大，即直線l被⊙C截得的弦最長（為直徑），此時圓心C應在直線l上，根據該思路即可得解．