Question

【題目】將一個正整數x的首位數字與末位數字先立方再求和得到一個新數（若x＜10，則直接將x立方得到新數），定義為M（x）運算.例如：M（2）＝23＝8，M（31）＝33+13＝28，M（102）＝13+23＝9，規定對某個正整數x進行第一次M（x）運算記作M1（x），第二次M（x）運算記作M2（x），……，第n次M（x）運算記作Mn（x），例如：M1（2）＝23＝8，M2（2）＝83＝512，M3（2）＝53+23＝133.

（1）求M2（3）和M2017（3）；

（2）若M5n（3）＝520，求正整數n的最小值.

Answer 1

【答案】（1）217；（2）2

【解析】

（1）按照新定義的含義逐步計算，并尋找規律即可；

（2）根據第（1）問找到的規律，列出關于n的等式，即可解決.

解：（1）M1（3）＝＝27，M2（3）＝＝351，M3（3）＝＝28，

M4（3）＝＝520，M5（3）＝＝125，M6（3）＝＝126，

M7（3）＝＝217，

M7的首位數字與末位數字與M1一致，

從M2開始循環，循環節為6，

又2017=336×6+1，

M2017（3）=M7（3）=217.

（2）M5n（3）＝520=M4（3）,

（其中為自然數），

正整數n的最小值為2.