Question

【題目】小儒在學習了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”之后做了如下思考：

（1）他認為該定理有逆定理，即“如果一個三角形某條邊上的中線等于該邊長的一半，那么這個三角形是直角三角形”應該成立，你能幫小儒證明一下嗎？如圖①，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若AD＝BD＝CD，求證：∠BAC＝90°．

（2）接下來，小儒又遇到一個問題：如圖②，已知矩形ABCD，如果在矩形外存在一點E，使得AE⊥CE，求證：BE⊥DE，請你作出證明，可以直接用到第（1）問的結論．

（3）在第（2）問的條件下，如果△AED恰好是等邊三角形，直接用等式表示出此時矩形的兩條鄰邊AB與BC的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BC＝AB，理由見解析

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質和三角形內角和即可得出結論；

（2）先判斷出OEAC，即可得出OEBD，即可得出結論；

（3）先判斷出△ABE是底角是30°的等腰三角形，即可構造直角三角形即可得出結論．

解：（1）∵AD＝BD，

∴∠B＝∠BAD，

∵AD＝CD，

∴∠C＝∠CAD，

在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC＝180°，

∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C+∠B+∠C＝180°

∴∠B+∠C＝90°，

∴∠BAC＝90°，

（2）如圖②，連接AC，BD，OE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA＝OB＝OC＝ODACBD，

∵AE⊥CE，

∴∠AEC＝90°，

∴OEAC，

∴OEBD，

∴∠BED＝90°，

∴BE⊥DE；

（3）如圖3，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠BAD＝90°，

∵△ADE是等邊三角形，

∴AE＝AD＝BC，∠DAE＝∠AED＝60°，

由（2）知，∠BED＝90°，

∴∠BAE＝∠BEA＝30°，

過點B作BF⊥AE于F，

∴AE＝2AF，在Rt△ABF中，∠BAE＝30°，

∴AB＝2BF，AF＝BF，

∴AE＝2BF，

∴AE＝AB，

∴BC＝AB．