Question

已知：如圖，以定線段AB為直徑作半圓O，P為半圓上任意一點（異于A、B），過點P作半圓O的切線分別交過A、B兩點的切線于D、C，連接OC、BP，過點O作OM∥CD分別交BC與BP于點M、N．下列結論：
①S_{四邊形ABCD}=

1

2

AB•CD；
②AD=AB；
③AD=ON；
④AB為過O、C、D三點的圓的切線．
其中正確的個數有（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

連接OD、AP，
∵DA、DP、BC分別是圓的切線，切點分別是A、P、B，
∴DA=DP，CP=CB，∠A=90°=∠B=∠DPO，
∴AD+BC=DP+CP=CD，
∴S_{四邊形ABCD}=

1

2

（AD+BC）•AB=

1

2

AB•CD，∴①正確；
∵AD=DP＜OD＜AB，∴②錯誤；
∵AB是圓的直徑，
∴∠APB=90°，
∵DP=AD，AO=OP，
∴D、O在AP的垂直平分線上，
∴OD⊥AP，
∵∠DPO=∠APB=90°，
∴∠OPB=∠DPA=∠DOP，
∵OM∥CD，
∴∠POM=∠DPO=90°，
在△DPO和△NOP中
∠PON=∠DPO，OP=OP，∠DOP=∠OPN，
∴△DPO≌△NOP，
∴ON=DP=AD，∴③正確；
∵AP⊥OD，OA=OP，
∴∠AOD=∠POD，
同理∠BOC=∠POC，
∴∠DOC=

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2

×180°=90°，
∴△CDO的外接圓的直徑是CD，
∵∠A=∠B=90°，
取CD的中點Q，連接OQ，
∵OA=OB，
∴AD∥OQ∥BC，
∴∠AOQ=90°，
∴④正確．
故選C．