Question

（1998•四川）已知：如圖，在以O 為圓心的兩個同心圓中，大圓O的內接四邊形ABCD的邊AB切小圓O于點P，兩條對角線AC、BD相交于點Q，AQ和AD的長是方程x²-7x+12=0的兩根，小圓O的半徑等于CD長的一半，AK是大圓的直徑．
（1）求證：∠BAK=∠CAD；
（2）求sin∠ADQ的值．

Answer 1

分析：（1）連接OP，則OP⊥AB，AP=BP，再根據AO=OK，得BK=2OP，根據CD=2OP，得BK=CD，

BK

=

CD

，從而證出∠BAK=∠CAD；
（2）根據AK是大圓O的直徑，得∠ABK=90°，∠BAK+∠BKA=90°，再根據∠BAK=∠CAD，∠ADB=∠AKB，∠CAD+∠ADB=90°，得∠AQD=90°，sin∠ADQ=

AQ

AD

，最后根據AQ，AD是方程x²-7x+12=0的兩根，求出AQ、AD，再代入求值即可．

解答：解：（1）連接OP，
∵AB與小圓O線切，
∴OP⊥AB，
∴AP=BP，
∵AO=OK，
∴BK=2OP，
∵小圓O的半徑等于CD的一半，
∴CD=2OP，
∴BK=CD，
∴

BK

=

CD

，
∴∠BAK=∠CAD；

（2）AK是大圓O的直徑，
∴∠ABK=90°，
∴∠BAK+∠BKA=90°，
∵∠BAK=∠CAD，∠ADB=∠AKB，
∴∠CAD+∠ADB=90°，
∴∠AQD=90°，
∴sin∠ADQ=

AQ

AD

，
∵AQ，AD是方程x²-7x+12=0的兩根，
∴AQ=3，AD=4，
∴sin∠ADQ=

3

4

．

點評：此題考查了圓的綜合，用到的知識點是三角形中位線定理、圓和切線的有關性質、三角函數等，關鍵是做出輔助線，綜合運用有關性質．