Question

在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射線BC上的一個動點，作PE⊥AP，PE交射線DC于點E，射線AE交射線BC于點F，設BP=x，CE=y．
（1）如圖，當點P在邊BC上時（點P與點B、C都不重合），求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（2）當x=3時，求CF的長；
（3）當tan∠PAE=

1

2

時，求BP的長．

Answer 1

分析：（1）PC在BC上運動時，要求y關于x的函數解析式，只需要用勾股定理表示PE2=PC2+EC2就可以使問題到解決，而關鍵是解決PE2，又在Rt△APE中由勾股定理求得，從而解決問題．
（2）把x=3的值代入第一問的解析式就可以求出CE的值，再利用三角形相似就可以求出CF的值．
（3）由條件可以證明△ABP∽△PCE，可以得到

BP

CE

=

AB

PC

=2，再分情況討論，從而求出BP的值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵BP=x，CE=y，
∴PC=5-x，DE=4-y，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△ABP∽△PCE，
∴

CE

BP

=

PC

AB

，
∴

y

x

=

5-x

4

，
∴y=

-x2+ 5x

4

，
自變量的取值范圍為：0＜x＜5；

（2）當x=3時，y=

-32+5×3

4

，
=

3

2

，即CE=

3

2

，
∴DE=

5

2

，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴

AD

CF

=

DE

CE

，
∴

5

CF

=

5 2

3 2

，
∴CF=3；

（3）根據tan∠PAE=

1

2

，可得：

AP

PE

=2     
易得：△ABP∽△PCE
∴

BP

CE

=

AB

PC

=2
于是：

x

y

=

4

5-x

=2 ①或

x

y

=

4

x-5

=2 ②
解得：x=3，y=1.5或 x=7，y=3.5．
∴BP=3或7．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質，解直角三角形以及勾股定理的運用．