Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC=，cosC=．

（1）動手操作：利用尺規作以AC為直徑的⊙O，并標出⊙O與AB的交點D，與BC的交點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）綜合應用：在你所作的圖中，

①求證：弧DE=弧CE ；②求點D到BC的距離．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）①證明見解析；②．

【解析】試題分析：（1）先作出AC的中垂線，再畫圓；

（2）邊接AE，AE是BC的中垂線，∠DAE=∠CAE，得出 DE=CE,

（3）利用△BDE∽△BCA求出BD，再利用余弦求出BM，用勾股定理求出DM．

試題解析：（1）如圖，

（2）如圖，連接AE，

∵AC為直徑，∴∠AEC=90°，

∵AB=AC，∴∠DAE=∠CAE，

∴ DE=CE .

（3）如圖，連接AE，DE，作DM⊥BC交BC于點M，

∵AC為直徑，∴∠AEC=90°，

∵AB=AC= 4，cosC= ，∴EC=BE=4，∴BC=8，

∵點A、D、E、C共圓，∴∠ADE+∠C=180°，

又∵∠ADE+∠BDE=180°，∴∠BDE=∠C，∴△BDE∽△BCA，

∴即BDBA=BEBC，∴BD×4 =4×8，

∴BD= ，

∵∠B=∠C，∴cos∠C=cos∠B= ，

∴ ,∴BM= ，

∴DM= ．