Question

【題目】長為30，寬為a的矩形紙片（15＜a＜30），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去．若在第n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止．當n=3時，a的值為 ．

Answer 1

【答案】18或22.5．

【解析】試題分析：根據操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原矩形的寬．所以首先需要判斷矩形相鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬．當15＜a＜30時，矩形的長為30，寬為a，所以第一次操作時所得正方形的邊長為a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為30﹣a，a．由30﹣a＜a可知，第二次操作時所得正方形的邊長為30﹣a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為30﹣a，a﹣（30﹣a）=2a﹣30．由于（30﹣a）﹣（2a﹣30）=60﹣3a，所以（30﹣a）與（2a﹣30）的大小關系不能確定，需要分情況進行討論．又因為可以進行三次操作，故分兩種情況：①30﹣a＞2a﹣30；②30﹣a＜2a﹣30．對于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據剩下的矩形為正方形，列出方程，求出a的值．

解：由題意，可知當15＜a＜30時，第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為30﹣a，所以第二次操作時正方形的邊長為30﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為30﹣a，2a﹣30．此時，分兩種情況：

①如果30﹣a＞2a﹣30，即a＜20，那么第三次操作時正方形的邊長為2a﹣30．

∵經過第三次操作后所得的矩形是正方形，

∴矩形的寬等于30﹣a，

即2a﹣30=（30﹣a）﹣（2a﹣30），解得a=18；

②如果30﹣a＜2a﹣30，即a＞20，那么第三次操作時正方形的邊長為30﹣a．

則30﹣a=（2a﹣30）﹣（30﹣a），解得a=22.5．

故答案為：18或22.5．