Question

【題目】Rt△ABC與Rt△DEF的位置如圖所示，其中AC=2，BC=6，DE=3，∠D=30°，其中，Rt△DEF沿射線CB以每秒1個單位長度的速度向右運動，射線DE、DF與射線AB分別交于N、M兩點，運動時間為t，當點E運動到與點B重合時停止運動．

（1）當Rt△DEF在起始時，求∠AMF的度數；

（2）設BC的中點的為P，當△PBM為等腰三角形時，求t的值；

（3）若兩個三角形重疊部分的面積為S，寫出S與t的函數關系式和相應的自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ∠AMF =150°；(2) t的值為0，3﹣，2，3+;(3) S=．

【解析】試題分析：（1）根據題意可以求得∠B的度數，∠DFC的度數，從而可以求得∠AME的度數；

（2）根據題意可以分兩種情況，一種是DM與線段AB相交，一種是DF與AB的延長線相交，分別針對兩種情況再討論，畫出相應的圖形，求出相應的t的值；

（3）根據題意可以分兩種情況，一種是DM與線段AB相交，一種是DF與AB的延長線相交，然后根據題意可以分別求出兩種情況下S與t的函數關系式．

試題解析：（1）在Rt△ABC中，tan∠B=

∴∠B=30°，

在Rt△DEF中，∠D=30°，

∴∠DFC=60°，

∴∠FMB=∠DFC﹣∠B=30°，

∴∠AMF=180°﹣∠FMB=150°；

（2）∵BC=6，點P為線段BC的中點，

∴BP=3，

（ⅰ）若點M在線段AB上，

①當PB=PM時，PB=PM=3，

∵DE=3，∠D=30°，

∴EF=DEtan30°=3，

∴此時t=0；

②如圖（1）所示

當BP=BM時，BP=BM=3，

∵∠B=30°，∠DFE=60°，

∴∠FMB=30°，

∴△BMF為等腰三角形．

過點F作FH⊥MB于H，則BH=BM=，

在Rt△BHF中，∠B=30°，

∴BF=，

∴t=3﹣；

③如圖（2）所示，

當MP=MB時，∠MPB=∠B=30

∵∠MFP=60°，

∴PM⊥MF，∠BMF=30°

∴FB=FM，

設FB=x，則FM=x，PF=2x．

∴3x=3，x=1

∴t=2；

（ⅱ）若點M在射線AB上，如圖（3）所示，

∵∠PBM=150°

∴當△PBM為等腰三角形時，有BP=BM=3

∵△BFM為等腰三角形，

∴過點F作FH⊥BM于H，則BH=BM=，

在Rt△BHF中，∠FBH=30°

∴BF=，

∴t=3+，

綜上所述，t的值為0，3﹣，2，3+．

（3）當0＜t≤3時，BE=6﹣t，NE=（6﹣t），

∴SΔBEN=×(6-t) ×（6﹣t）=（6﹣t）2

過點F作FH⊥MB于H，如圖（1）所示，

∵FB=3﹣t

∴HF=（3﹣t），HB=（3﹣t），MB=（3﹣t），

∴SΔBMF=×（3﹣t）×（3﹣t）=（3﹣t）2，

∴S=S△BEN﹣S△BMF=（6﹣t）2-（3﹣t）2=

當3＜t≤6時，BE=6﹣t，NE=（6﹣t），如圖（4）所示，

∴S=SΔBEN=

由上可得，當0＜t≤3時，S=，

當3＜t≤6時，S=．