Question

【題目】以點為頂點作等腰，等腰，其中，如圖1所示放置，使得一直角邊重合，連接、．

（1）試判斷、的數量關系，并說明理由；

（2）延長交于點試求的度數；

（3）把兩個等腰直角三角形按如圖2放置，（1）、（2）中的結論是否仍成立？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD=CE，理由見解析；（2）90°；（3）成立，理由見解析.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可證明△ADB≌△AEC，則BD=CE；

（2）由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA，利用三角形內角和定理可得到∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；

（3）與（1）一樣可證明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形內角和定理得到∠BFC=∠DAB=90°．

（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，

∵在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC（SAS），∴BD=CE；

（2）∵△ADB≌△AEC，∴∠ACE=∠ABD，

而在△CDF中，∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF，

又∵∠CDF=∠BDA，

∴∠BFC=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°；

（3）BD=CE成立，且兩線段所在直線互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：

∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=90°，

∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴BD=CE，∠ACE=∠DBA，

∴∠BFC=∠DAB=90°．