Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的位置時，求證：DE=AD+BE；

（2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的位置時，求證：DE=AD-BE；

（3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關系？請直接寫出這個等量關系.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）DE=BE-AD.

【解析】試題分析：（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因為∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，推出∠ACD=∠CBE，根據AAS可得Rt△ADC≌Rt△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；

（2）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠CBE，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，根據線段的和差即可得到答案；

（3）同前兩問可得△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，根據線段的和差即可得出結論．

試題解析：

證明：（1）∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠BCE+∠CBE=90°，

∴∠ACD=∠CBE，

在△ADC與△CEB中，

∠ADC=∠CEB，∠ACD=∠CBE，AC=CB，

∴Rt△ADC≌Rt△CEB (AAS），

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=DC+CE=BE+AD；

（2）∵∠ACB=∠CEB=90°，

∴∠ACD+∠ECB=∠CBE+∠ECB=90°，

∴∠ACD=∠CBE

在△ADC與△CEB中，

∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD=∠CBE，AC=CB，

∴△ADC≌△CEB (AAS），

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CE-CD=AD-BE；

（3）DE=BE-AD.

理由：同（1）（2）證法可得△ADC≌△CEB ，

∴AD=CE，DC=BE，

∴DE=CD-CE=BE-AD．