Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+3與x軸相交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸相交于點C，點P為線段OB上的動點（不與O、B重合），過點P垂直于x軸的直線與拋物線及線段BC分別交于點E、F，點D在y軸正半軸上，OD=2，連接DE、OF．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當四邊形ODEF是平行四邊形時，求點P的坐標；

（3）過點A的直線將（2）中的平行四邊形ODEF分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式．（不必說明平分平行四邊形面積的理由）

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）（1，0）或（2，0）．（3）y=x+或y=x+．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）平行四邊形的對邊相等，因此EF=OD=2，據此列方程求出點P的坐標；

（3）本問利用中心對稱的性質求解．平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點（或對角線的中點），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點A與ODEF對稱中心的直線平分ODEF的面積．

解：（1）∵點A（﹣1，0）、B（3，0）在拋物線y=ax2+bx+3上，

∴，

解得a=﹣1，b=2，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3．

（2）在拋物線解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，

∴C（0，3）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）坐標代入得：

，

解得k=﹣1，b=3，

∴y=﹣x+3．

設E點坐標為（x，﹣x2+2x+3），則P（x，0），F（x，﹣x+3），

∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．

∵四邊形ODEF是平行四邊形，

∴EF=OD=2，

∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，

解得x=1或x=2，

∴P點坐標為（1，0）或（2，0）．

（3）平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點（或對角線的中點），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點A與ODEF對稱中心的直線平分ODEF的面積．

①當P（1，0）時，

點F坐標為（1，2），又D（0，2），

設對角線DF的中點為G，則G（，2）．

設直線AG的解析式為y=kx+b，將A（﹣1，0），G（，2）坐標代入得：

，

解得k=b=，

∴所求直線的解析式為：y=x+；

②當P（，0）時，

點F坐標為（2，1），又D（0，2），

設對角線DF的中點為G，則G（1，）．

設直線AG的解析式為y=kx+b，將A（﹣1，0），G（1，）坐標代入得：

，

解得k=b=，

∴所求直線的解析式為：y=x+．

綜上所述，所求直線的解析式為：y=x+或y=x+．