Question

【題目】已知⊙O中，弦AB=AC，點P是∠BAC所對弧上一動點，連接PA，PB．

（1）如圖①，把△ABP繞點A逆時針旋轉到△ACQ，連接PC，求證：∠ACP+∠ACQ=180°；

（2）如圖②，若∠BAC=60°，試探究PA、PB、PC之間的關系．

（3）若∠BAC=120°時，（2）中的結論是否成立？若是，請證明；若不是，請直接寫出它們之間的數量關系，不需證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）PA=PB+PC．理由見解析；（3）若∠BAC=120°時，（2）中的結論不成立， PA=PB+PC．

【解析】試題分析：（1）如圖①，連接PC．根據“內接四邊形的對角互補的性質”即可證得結論；

（2）如圖②，通過作輔助線BC、PE、CE（連接BC，延長BP至E，使PE=PC，連接CE）構建等邊△PCE和全等三角形△BEC≌△APC；然后利用全等三角形的對應邊相等和線段間的和差關系可以求得PA=PB+PC；

（3）如圖③，在線段PC上截取PQ，使PQ=PB，過點A作AG⊥PC于點G．利用全等三角形△ABP≌△AQP（SAS）的對應邊相等推知AB=AQ，PB=PG，將PA、PB、PC的數量關系轉化到△APC中來求即可．

試題解析：（1）如圖①，連接PC．

∵△ACQ是由△ABP繞點A逆時針旋轉得到的，

∴∠ABP=∠ACQ．

由圖①知，點A、B、P、C四點共圓，

∴∠ACP+∠ABP=180°（圓內接四邊形的對角互補），

∴∠ACP+∠ACQ=180°（等量代換）；

（2）PA=PB+PC．理由如下：

如圖②，連接BC，延長BP至E，使PE=PC，連接CE．

∵弦AB=弦AC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等邊三角形（有一內角為60°的等腰三角形是等邊三角形）．

∵A、B、P、C四點共圓，∴∠BAC+∠BPC=180°（圓內接四邊形的對角互補），

∵∠BPC+∠EPC=180°，∴∠BAC=∠CPE=60°，

∵PE=PC，∴△PCE是等邊三角形，∴CE=PC，∠E=∠ECP=∠EPC=60°；

又∵∠BCE=60°+∠BCP，∠ACP=60°+∠BCP，∴∠BCE=∠ACP（等量代換）,

在△BEC和△APC中， ，∴△BEC≌△APC（SAS），∴BE=PA，

∴PA=BE=PB+PC；

（3）若∠BAC=120°時，（2）中的結論不成立， PA=PB+PC．理由如下：

如圖③，在線段PC上截取PQ，使PQ=PB，過點A作AG⊥PC于點G．

∵∠BAC=120°，∠BAC+∠BPC=180°，∴∠BPC=60°．

∵弦AB=弦AC，∴∠APB=∠APQ=30°．

在△ABP和△AQP中， ，∴△ABP≌△AQP（SAS），

∴AB=AQ，PB=PQ（全等三角形的對應邊相等），∴AQ=AC（等量代換）．

在等腰△AQC中，QG=CG．

在Rt△APG中，∠APG=30°，則AP=2AG，PG=AG,

∴PB+PC=PG﹣QG+PG+CG=PG﹣QG+PG+QG=2PG=2AG，

∴PA=2AG，即PA=PB+PC．