Question

【題目】閱讀材料,理解應用:

已知方程x2+x﹣1=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．

解：設所求方程的根為y，則y=2x，所以x=．把x=代入已知方程，得（）2+﹣1=0．

化簡，得：y2+2y﹣4=0．這種利用方程根的代替求新方程的方法，我們稱為“換根法”．

請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）；

（1）已知方程x2+x﹣2=0，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數．

（2）已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）cy2+by+c=0（c≠0）

【解析】試題分析：根據所給的材料，設所求方程的根為y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程．

試題解析：解：（1）設所求方程的根為y，則y=﹣x所以x=﹣y．

把x=﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2=0，故所求方程為y2﹣y﹣2=0；

（2）設所求方程的根為y，則y=（x≠0），于是x=（y≠0）

把x=代入方程ax2+bx+c=0，得a（）2+b+c=0

去分母，得a+by+cy2=0．

若c=0，有ax2+bx=0，即x（ax+b）=0，可得有一個解為x=0，不符合題意，因為題意要求方程ax2+bx+c=0有兩個不為0的根．

故c≠0，故所求方程為cy2+by+a=0（c≠0）．