Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，等腰三角形ABO的底邊OA在x軸上，頂點B在反比例函數y= （x＞0）的圖象上，當底邊OA上的點A在x軸的正半軸上自左向右移動時，頂點B也隨之在反比例函數y= （x＞0）的圖象上滑動，但點O始終位于原點．

（1）如圖①，若點A的坐標為（6，0），求點B的坐標；
（2）當點A移動到什么位置時，三角形ABO變成等腰直角三角形，請說明理由；
（3）在（2）中，如圖②，△PA1A是等腰直角三角形，點P在反比例函數y= （x＞0）的圖象上，斜邊A1A在x軸上，求點A1的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①，過點B作BC⊥x軸于點C，

∵OB=AB，

∴OC=AC，點A移動到什么位置時，三角形ABO變成等腰直角三角形，

∵點A的坐標為（6，0），

∴OC= OA=3，

∵頂點B在反比例函數y= （x＞0）的圖象上，

∴y= =4，

∴點B的坐標為：（3，4）

（2）

解：點A移動到（4 ，0）時，△ABO變成等腰直角三角形．

理由：如圖②，過點B作BC⊥x軸于點C，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴BC=OC= OA，

設點B（a，a），

∵頂點B在反比例函數y= （x＞0）的圖象上，

∴a= ，

解得：a=±2 （負值舍去），

∴OC=2 ，

∴OA=2OC=4 ，

∴點A移動到（4 ，0）時，△ABO變成等腰直角三角形

（3）

解：如圖②，過點P作PD⊥x軸于點D，

∵△PA1A是等腰直角三角形，

∴PD=AD，

設AD=b，則點P（4 +b，b），

∵點P在反比例函數y= （x＞0）的圖象上，

∴b= ，

解得：b1=2 ﹣2 ，b2=﹣2 ﹣2 （舍去），

∴AA1=2b=4 ﹣4 ，

∴OA1=OA+AA1=4 ，

∴點A1的坐標為：（4 ，0）．

【解析】（1）首先過點B作BC⊥x軸于點C，由等腰三角形的三線合一，可得OC=AC=3，然后由頂點B在反比例函數y= （x＞0）的圖象上，求得點B的坐標；（2）首先由等腰直角三角形的性質，可得OC=BC，然后由頂點B在反比例函數y= （x＞0）的圖象上，求得點B的坐標，繼而求得點A的坐標；（3）首先過點P作PD⊥x軸于點D，易得AD=PD，則可設AD=b，則點P（4 +b，b），又由點P在反比例函數y= （x＞0）的圖象上，求得b的值，繼而求得答案．