Question

已知⊙、⊙外切于點，經過點的任一直線分別與⊙、⊙交于點、，
（1）若⊙、⊙是等圓（如圖1），求證；
（2）若⊙、⊙的半徑分別為、（如圖2），試寫出線段、與、之間始終存在的數量關系（不需要證明）．
  

Answer 1

解：（1）聯結．
∵⊙．⊙外切于點，∴點T在上．                                  
如圖，過．分別作．，垂足為、， 

∴ ∥．                                                            
∴ ．                   
∵⊙．⊙是等圓，∴．   
∴，
∴．                        
在⊙中，
∵ ，
∴．
同理 ．                                                   
∴，即．                                          
（2）線段．與、之間始終存在的數量關系是．               

（1）連接O₁O₂，如圖1所示，根據兩圓外切時，兩圓心連線過切點，得到O₁O₂過T點，由垂直得到一對直角相等，再由對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到△O₁CT與△O₂DT，由相似得比例，又兩圓為等圓，半徑相等可得出，可得出CT=DT，又O₁C⊥AT，利用垂徑定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代換可得出AT=BT，得證；
（2）線段AT、BT與R、r之間始終存在的數量關系是，理由為：連接O₁O₂，如圖2所示，根據兩圓外切時，兩圓心連線過切點，得到O₁O₂過T點，由垂直得到一對直角相等，再由對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到△O₁CT與△O₂DT，由相似得比例，將O₁T=R，O₂T=r代入，得到CT與DT的比值為R：r，又O₁C⊥AT，利用垂徑定理得到CT等于AT的一半，同理DT等于BT的一半，等量代換可得出AT與BT的比值為R：r．