Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OC⊥AB，OB＝4，D是OB的中點，點E是弧BC上的動點，連接AE，DE．

（1）當點E是弧BC的中點時，求△ADE的面積；

（2）若 ，求AE的長；

（3）點F是半徑OC上一動點，設點E到直線OC的距離為m，當△DEF是等腰直角三角形時，求m的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3） ，，.

【解析】

（1）作EH⊥AB，連接OE，EB，設DH＝a，則HB＝2﹣a，OH＝2+a，則EH＝OH＝2+a，根據Rt△AEB中，EH2＝AHBH，即可求出a的值，即可求出S△ADE的值；

（2）作DF⊥AE，垂足為F，連接BE，設EF＝2x，DF＝3x，根據DF∥BE故，得出AF＝6x，再利用Rt△AFD中，AF2+DF2＝AD2，即可求出x，進而求出AE的長；

（3）根據等腰直角三角形的不同頂點進行分類討論，分別求出m的值.

解：（1）如圖，作EH⊥AB，連接OE，EB，

設DH＝a，則HB＝2﹣a，OH＝2+a，

∵點E是弧BC中點，

∴∠COE＝∠EOH＝45°，

∴EH＝OH＝2+a，

在Rt△AEB中，EH2＝AHBH，

（2+a）2＝（6+a）（2﹣a），

解得a＝，

∴a＝，

EH=，

S△ADE＝;

（2）如圖，作DF⊥AE，垂足為F，連接BE

設EF＝2x，DF＝3x

∵DF∥BE

∴

∴=3

∴AF＝6x

在Rt△AFD中，AF2+DF2＝AD2

（6x）2+（3x）2＝（6）2

解得x＝

AE＝8x＝

（3）當點D為等腰直角三角形直角頂點時，如圖

設DH＝a

由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°，∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH，

∴∠DFO=∠EDH

∴△ODF≌△HED

∴OD＝EH＝2

在Rt△ABE中，EH2＝AHBH

（2）2＝（6+a）（2﹣a）

解得a＝±

m＝

當點E為等腰直角三角形直角頂點時，如圖

同理得△EFG≌△DEH

設DH＝a，則GE＝a，EH＝FG＝2+a

在Rt△ABE中，EH2＝AHBH

（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）

解得a＝

∴m＝

當點F為等腰直角三角形直角頂點時，如圖

同理得△EFM≌△FDO

設OF＝a，則ME＝a，MF＝OD＝2

∴EH＝a+2

在Rt△ABE中，EH2＝AHBH

（a+2）2＝（4+a）（4﹣a）

解得a＝±

m＝