Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD的外側，作兩個等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE

（1）請判斷：AF與BE的數量關系是 ， 位置關系是 .
（2）如圖2，若將條件“兩個等邊三角形ADE和DCF”變為“兩個等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）問中的結論是否仍然成立？請作出判斷并給予說明
（3）若三角形ADE和DCF為一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）問中的結論都能成立嗎？請直接寫出你的判斷.

Answer 1

【答案】
（1）相等；互相垂直
（2）

解：結論仍然成立．

理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，

∴在△ADE和△DCF中，，

∴△ADE≌△DCF，

∴∠DAE=∠CDF，

又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

∴在△ABE和△ADF中，

∴△ABE≌△ADF，

∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，

又∵∠DAF+∠BAM=90°，

∴∠ABM+∠BAM=90°，

∴在△ABM中，∠AMB=180°﹣（∠ABM+∠BAM）=90°，

∴BE⊥AF；

（3）

解：第（1）問中的結論都能成立．

理由是：∵正方形ABCD中，AB=AD=CD，

∴在△ADE和△DCF中，，

∴△ADE≌△DCF，

∴∠DAE=∠CDF，

又∵正方形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

∴在△ABE和△ADF中，，

∴△ABE≌△ADF，

∴BE=AF，∠ABM=∠DAF，

又∵∠DAF+∠BAM=90°，

∴∠ABM+∠BAM=90°，

∴在△ABM中，∠AMB=180°﹣（∠ABM+∠BAM）=90°，

∴BE⊥AF．

【解析】（1）易證△ADE≌△DCF，即可證明AF與BE的數量關系是：AF=BE，位置關系是：AF⊥BE．
（2）證明△ADE≌△DCF，然后證明△ABE≌△ADF即可證得BE=AF，然后根據三角形內角和定理證明∠AMB=90°，從而求證；
（3）與（2）的解法完全相同．
【考點精析】通過靈活運用等邊三角形的性質和正方形的性質，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．