Question

【題目】在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A(0，2)，點C(1，0)，如圖所示，拋物線y=ax2﹣ax﹣2經過點B．

（1）求點B的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）在拋物線上是否還存在點P(點B除外)，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（3，1）；（2）y=x2-x-2；（3）存在，點P（-1，-1）或（-2，1）

【解析】

（1）首先過點B作BD⊥x軸，垂足為D，易證得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，則可求得點B的坐標；
（2）利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（3）分別從①以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點P1作P1M⊥x軸，②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點P2作P2N⊥y軸，③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點P3作P3H⊥y軸，去分析則可求得答案．

（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
∴△BDC≌△COA，
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴點B的坐標為（3，1）；

（2）∵拋物線y=ax2-ax-2過點B（3，1），
∴1=9a-3a-2，
解得：a=，
∴拋物線的解析式為y=x2-x-2；
（3）假設存在點P，使得△ACP是等腰直角三角形，
①若以AC為直角邊，點C為直角頂點，
則延長BC至點P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點P1作P1M⊥x軸，如圖（1），
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，
∴△MP1C≌△DBC，
∴CM=CD=2，P1M=BD=1，
∴P1（-1，-1），經檢驗點P1在拋物線y=x2-x-2上；

②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，
得到等腰直角三角形ACP2，過點P2作P2N⊥y軸，如圖（2），
同理可證△AP2N≌△CAO，
∴NP2=OA=2，AN=OC=1，
∴P2（-2，1），經檢驗P2（-2，1）也在拋物線y=x2-x-2上；

③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，
得到等腰直角三角形ACP3，過點P3作P3H⊥y軸，如圖（3），
同理可證△AP3H≌△CAO，
∴HP3=OA=2，AH=OC=1，
∴P3（2，3），經檢驗P3（2，3）不在拋物線y=x2-x-2上；
故符合條件的點有P1（-1，-1），P2（-2，1）兩點．