Question

【題目】拋物線y＝ax2＋c與x軸交于A、B兩點，頂點為C，點P為拋物線上，且位于x軸下方．

（1）如圖1，若P(1，－3)、B(4，0)，

① 求該拋物線的解析式；

② 若D是拋物線上一點，滿足∠DPO＝∠POB，求點D的坐標；

（2） 如圖2，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點．當點P運動時，是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2-；②點D的坐標為(-1，-3)或(，)；（2）是定值，等于2.

【解析】

試題分析：（1）①將P(1，－3)、B(4，0)代入y＝ax2＋c得方程組，解方程組即可求得a、c的值，就求得函數解析式；②分兩種情況求得點D的坐標即可；（2）設B（b，0），則A（-b，0）有ab2＋c＝0，即可得b2＝，過點P（x0，y0）作PH⊥AB，有，利用相似三角形的性質分別求得OE、OF的值，即可得的值.

試題解析：（1）①將P(1，－3)、B(4，0)代入y＝ax2＋c得

，解得 ，拋物線的解析式為： ．

②如圖：

由∠DPO＝∠POB得DP∥OB，D與P關于y軸對稱，P(1，－3)得D(-1，-3)；

如圖，D在P右側，即圖中D2，則∠D2PO＝∠POB，延長PD2交x軸于Q，則QO＝QP，

設Q（q，0），則（q－1）2＋32＝q2，解得：q＝5，∴Q（5，0），則直線PD2為 ，再聯立 得：x＝1或 ，∴ D2（ ）

∴點D的坐標為(-1，-3)或（ ）

（2）設B（b，0），則A（-b，0）有ab2＋c＝0，∴b2＝，過點P（x0，y0）作PH⊥AB，有，易證：△PAH∽△EAO，則 即，∴，

同理得∴，∴，則OE＋OF＝

∴，又OC＝－c,∴.

∴是定值，等于2．