Question

【題目】已知：如圖∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC、BD的中點．

（1）求證：MN⊥BD．

（2）若∠BAD＝45°，連接MB、MD，判斷△MBD的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）等腰直角三角形，理由詳見解析.

【解析】

（1）由直角三角形斜邊中線的性質可得BM＝AC，DM＝AC，即可證明BM=DM，由N是BD的中點，根據等腰三角形“三線合一”的性質即可得結論；（2）根據直角三角形斜邊中線的性質可得AM＝AC＝BM，即可證明∠BAM=∠ABM，利用三角形外角性質可得∠MBC=2∠BAM，同理可得∠DMC=2∠DAM，利用角的和差關系可得∠BDM=90°，由BM=DM即可得出△MBD為等腰直角三角形.

（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分別是AC、BD的中點，

∴BM＝AC，DM＝AC，

∴BM＝DM，

∵N是BD的中點，

∴MN⊥BD．

（2）等腰直角三角形，理由：

∵M是AC的中點，∠ABC=90°，

∴AM＝AC＝BM，

∴∠BAM＝∠ABM，

∴∠BMC＝2∠BAM，

同理可得∠DMC＝2∠DAM，

又∵∠BAD＝45°，

∴∠BDM=∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD＝90°，

又∵BM＝DM，

∴△BDM是等腰直角三角形．