Question

【題目】如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BCA=90°，BC=AC，直角頂點C在y軸上，銳角頂點A在x軸上．
（1）如圖①，若點C的坐標是（0，-1），點A的坐標是（-3，0），求B點的坐標；
（2）如圖②，若x軸恰好平分∠BAC，BC與x軸交于點D，過點B作BE⊥x軸于E，問AD與BE有怎樣的數量關系，并說明理由；
（3）如圖③，直角邊AC在兩坐標軸上滑動，使點B在第四象限內，過B點作BF⊥x軸于F，在滑動的過程中，猜想OC、BF、OA之間的關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）（1，2）；（2）AD=2BE，理由見解析；（3）OC=BF+OA，證明見解析；

【解析】

（1）如圖①，過B作BG⊥y軸于G，證明△AOC≌△CGB（AAS），得AO=CG=3，OC=BG=1，表示點B的坐標；
（2）如圖②，延長BE、AC交于H，證明△AEB≌△AEH（ASA），得BE=EH，即BH=2BE，再證明△ACD≌△BCH（ASA），可得結論；
（3）如圖③，過C作CM⊥BF，交FB的延長線于M，證明△AOC≌△BMC（AAS），四邊形OCMF為矩形，根據線段的和可得結論．

（1）如圖①，過B作BG⊥y軸于G，

∵點C的坐標是（0，-1），點A的坐標是（-3，0），
∴OC=1，OA=3，
∵∠BCA=90°，
∴∠ACO+∠BCG=90°，
∵∠BCG+∠CBG=90°，
∴∠ACO=∠CBG，
∵AC=BC，∠AOC=∠BGC=90°，
∴△AOC≌△CGB（AAS），
∴AO=CG=3，OC=BG=1，
∴OG=3-1=2，
∴B（1，2）；
（2）如圖②，AD=2BE，
理由是：延長BE、AC交于H，

∵BE⊥x軸，
∴∠AEB=∠AEH=90°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AE=AE，
∴△AEB≌△AEH（ASA），
∴BE=EH，即BH=2BE，
∵∠ACD=∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，
∴∠CAD=∠CBH，
∵AC=BC，∠ACD=∠BCH=90°，
∴△ACD≌△BCH（ASA），
∴AD=BH=2BE；
（3）OC=BF+OA，
理由是：如圖③，過C作CM⊥BF，交FB的延長線于M，

同理可得：△AOC≌△BMC（AAS），
∴AO=BM，OC=CM，
∵∠COF=∠OFM=∠M=90°，
∴四邊形OCMF為矩形，
∴FM=OC，
∴FM=BF+BM，
∴OC=BF+OA．