Question

兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點P在的圖象上，PC⊥x軸于點C，交的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交的圖象于點B，當點P在的圖象上運動時，以下結論：①△ODB與△OCA的面積相等；②四邊形PAOB的面積不會發(fā)生變化；③PA與PB始終相等；④當點A是PC的中點時，點B一定是PD的中點．其中一定正確的是　　．

Answer 1

①②④

解析試題分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而A、B兩點都在的圖象上，故有x₁y₁=x₂y₂=1，而S_△ODB=×BD×OD=x₂y₂=，S_△OCA=×OC×AC=x₁y₁=，故①正確；
由A、B兩點坐標可知P（x₁，y₂），P點在的圖象上，故S_矩形OCPD=OC×PD=x₁y₂=k，根據(jù)S_{四邊形PAOB}=S_矩形OCPD﹣S_△ODB﹣S_△OCA，計算結果，故②正確；
由已知得x₁y₂=k，即x₁•=k，即x₁=kx₂，由A、B、P三點坐標可知PA=y₂﹣y₁=﹣=，PB=x₁﹣x₂，=（k﹣1）x₂，故③錯誤；
當點A是PC的中點時，y₂=2y₁，代入x₁y₂=k中，得2x₁y₁=k，故k=2，代入x₁=kx₂中，得x₁=2x₂，可知④正確．
解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁y₁=x₂y₂=1，
∵S_△ODB=×BD×OD=x₂y₂=，S_△OCA=×OC×AC=x₁y₁=，故①正確；
（2）由已知，得P（x₁，y₂），
∵P點在的圖象上，
∴S_矩形OCPD=OC×PD=x₁y₂=k，
∴S_{四邊形PAOB}=S_矩形OCPD﹣S_△ODB﹣S_△OCA=k﹣﹣=k﹣1，故②正確；
（3）由已知得x₁y₂=k，即x₁•=k，
∴x₁=kx₂，
根據(jù)題意，得PA=y₂﹣y₁=﹣=，PB=x₁﹣x₂，=（k﹣1）x₂，故③錯誤；
（4）當點A是PC的中點時，y₂=2y₁，
代入x₁y₂=k中，得2x₁y₁=k，
∴k=2，
代入x₁=kx₂中，得x₁=2x₂，故④正確．
故本題答案為：①②④．
考點：反比例函數(shù)綜合題．
點評：本題考查了反比例函數(shù)性質的綜合運用，涉及點的坐標轉化，相等長度的表示方法，三角形、四邊形面積的計算，充分運用雙曲線上點的橫坐標與縱坐標的積等于反比例系數(shù)k．