Question

【題目】已知拋物線y＝ax2－2amx＋am2＋2m＋4的頂點P在一條定直線l上．

（1）直接寫出直線l的解析式；

（2）若存在唯一的實數m，使拋物線經過原點．

①求此時的a和m的值；

②拋物線的對稱軸與x軸交于點A，B為拋物線上一動點，以OA、OB為邊作□OACB，若點C在拋物線上，求B的坐標．

（3）拋物線與直線l的另一個交點Q，若a＝1，直接寫出△OPQ的面積的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=2x+4（2）①m=-4；②B（-2，-3）（3）

【解析】試題分析：（1）利用配方法求出頂點坐標，即可解決問題．

（2）①拋物線經過原點，所以x=0時，y=0，得am2+2m+4=0，因為實數m唯一，所以△=0，得到4﹣16a=0，可得a=，m=﹣4．

②如圖1中，根據平行四邊形的性質，可知點B的橫坐標為﹣2，由此可以求出點B坐標．

（3）如圖2中，直線y=2x+4與x軸交于點B（﹣2，0），交y軸于點A（0，4），作OM⊥AB于M．由OAOB=ABOM，求出OM，利用方程組，可得P（m，m+2），Q（m+2，2m+8），求出PQ的長即可解決問題．

試題解析：解：（1）∵y=ax2﹣2amx+am2+2m+4=a（x﹣m）2+2m+4，∴頂點P坐標為（m，2m+4），∴頂點P在直線y=2x+4上．

（2）①∵拋物線經過原點，∴x=0時，y=0，∴am2+2m+4=0，∵實數m唯一，∴△=0，∴4﹣16a=0，∴a=，m=﹣4．

②如圖1中，∵四邊形OACB是平行四邊形，∴OA∥BC，OA=BC=4，∵BC∥x軸，A（﹣4，0），根據對稱性可知，B、C關于對稱軸對稱，∴點B的橫坐標為﹣2，y=（x+4）2﹣4，∴x=﹣2時，y=﹣3，∴點B坐標為（﹣2，﹣3）．

（3）如圖2中，∵直線y=2x+4與x軸交于點B（﹣2，0），交y軸于點A（0，4），作OM⊥AB于M，∴OB=2，OA=4，∴AB==．∵OAOB=ABOM，∴OM=/span>．∵a=1，∴拋物線的解析式為y=x2﹣2mx+m2+2m+4，由，消去y得x2﹣（2m+2）x+m（m+2）=0，解得x=m或m=2，∴或，∴P（m，m+2），Q（m+2，2m+8），∴PQ==，∴S△POQ=PQOM=××=．