Question

【題目】如圖1，二次函數y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸的正半軸交于點C，頂點為D．

（1）求頂點D的坐標（用含a的代數式表示）．

（2）若以AD為直徑的圓經過點C．

①求a的值．

②如圖2，點E是y軸負半軸上一點，連接BE，將△OBE繞平面內某一點旋轉180°，得到△PMN（點P、M、N分別和點O、B、E對應），并且點M、N都在拋物線上，作MF⊥x軸于點F，若線段BF=2MF，求點M、N的坐標．

③如圖3，點Q在拋物線的對稱軸上，以Q為圓心的圓過A、B兩點，并且和直線CD相切，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）D（1，﹣4a）；（2）①a=﹣1；②M（， ）、N（， ）；③Q的坐標為（1， ）或（1， ）．

【解析】分析: （1）將二次函數的解析式進行配方即可得到頂點D的坐標．

（2）①以AD為直徑的圓經過點C，即點C在以AD為直徑的圓的圓周上，依據圓周角定理不難得出△ACD是個直角三角形，且∠ACD＝90°，A點坐標可得，而C、D的坐標可由a表達出來，在得出AC、CD、AD的長度表達式后，依據勾股定理列等式即可求出a的值．

②將△OBE繞平面內某一點旋轉180°得到△PMN，說明了PM正好和x軸平行，且PM＝OB＝1，所以求M、N的坐標關鍵是求出點M的坐標；首先根據①的函數解析式設出M點的坐標，然后根據題干條件：BF＝2MF作為等量關系進行解答即可．

③設⊙Q與直線CD的切點為G，連接QG，由C、D兩點的坐標不難判斷出∠CDQ＝45°，那么△QGD為等腰直角三角形，即QD ＝2QG ＝2QB ，設出點Q的坐標，然后用Q點縱坐標表達出QD、QB的長，根據上面的等式列方程即可求出點Q的坐標．

詳解:

（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，

∴D（1，﹣4a）．

（2）①∵以AD為直徑的圓經過點C，

∴△ACD為直角三角形，且∠ACD=90°；

由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），則：

AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4

由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，

化簡，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1，

②∵a=﹣1，

∴拋物線的解析式：y=﹣x2+2x+3，D（1，4）．

∵將△OBE繞平面內某一點旋轉180°得到△PMN，

∴PM∥x軸，且PM=OB=1；

設M（x，﹣x2+2x+3），則OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；

∵BF=2MF，

∴x+1=2（﹣x2+2x+3），化簡，得：2x2﹣3x﹣5=0

解得：x1=﹣1（舍去）、x2=.

∴M（， ）、N（， ）．

③設⊙Q與直線CD的切點為G，連接QG，過C作CH⊥QD于H，如下圖：

∵C（0，3）、D（1，4），

∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，

∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；

設Q（1，b），則QD=4﹣b，QG2=QB2=b2+4；

得：（4﹣b）2=2（b2+4），

化簡，得：b2+8b﹣8=0，解得：b=﹣4±2；

即點Q的坐標為（1， ）或（1， ）．

點睛: 此題主要考查了二次函數解析式的確定、旋轉圖形的性質、圓周角定理以及直線和圓的位置關系等重要知識點；后兩個小題較難，最后一題中，通過構建等腰直角三角形找出QD和⊙Q半徑間的數量關系是解題題目的關鍵．