Question

【題目】如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．

（1）求證：OE＝OF；

（2）若CE＝8，CF＝6，求OC的長；

（3）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）5；（3）當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，證明見解析．

【解析】

（1）根據平行線的性質以及角平分線的性質得出∠1=∠2，∠3=∠4，進而由“等角對等邊”證明即可；

（2）根據已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，進而利用勾股定理求出EF的長，即可得出CO的長；

（3）根據平行四邊形的判定以及矩形的判定即可得出.

（1）證明：∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，

∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴EO＝CO，FO＝CO，

∴OE＝OF；

（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，

∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，

∵CE＝8，CF＝6，

∴EF＝＝10，

∴OC＝EF＝5；

（3）當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．

證明：當O為AC的中點時，AO＝CO，

∵EO＝FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵∠ECF＝90°，

∴平行四邊形AECF是矩形．