Question

【題目】已知直線l與直線l外一點P，求作：過點P且垂直于直線l的垂線a（尺規作圖）．

現給出一種作法，如下：

步驟一：在直線l外取一點E，以點P為圓心，以線段PE為半徑畫弧，交直線l于點M，N；

步驟二：分別以點M、N為圓心，大于線段MN為半徑畫弧，過兩弧的交點的直線a就是所求作的垂線．

（1）按上述操作步驟，請成功作出過點P且垂直于直線l的垂線a．（符合要求的一種圖形），并說明理由．

（2）從你作圖的過程中，思考要保證這種作法順利作出，線段PE應該滿足什么條件？

（3）為了避免這種情況產生，小明說只要在直線l上取點E好了，并給出了畫法，畫法對嗎？請說明理由．

（作法：在直線l上取兩點B、D，以P為圓心，以PD 為半徑畫圓交直線l于點E，以P為圓心，以PB 為半徑畫圓交直線l于點F，其中較小圓分別交PB，PF于點M、N，連接E、N和D、M，EN和MD相交于點H，則PH就是所求的垂線．）

（4）請在直線l上取點E，用直尺和圓規過點P且垂直于直線l的垂線a（與小明不同的方法，并要求盡可能簡單）．

Answer 1

【答案】答案見解析.

【解析】試題分析：(1)、分點E、點P在直線l的異側、同側兩種情況來分別進行討論，從而根據圓的性質得出答案；(2)、根據第一題的情況分析得出線段PE要大于點P到直線的距離；(3)、連接MN，根據題意得出△PMH和△PNH全等，然后根據圓心角的逆定理得出垂線；(4)、利用直徑所對的圓周角是直角.

試題解析：(1)、根據點E、點P與直線l的位置關系可分為兩種情況：

i）點E、點P在直線l的異側，如圖1所示，

ii）點E、點P在直線l的同側，再根據點P到直線l 的距離與半徑PE長度的比較，圓P與直線l的位置關系可分為三種情況：①圓P與直線l相交，且有兩個交點，如圖2；

②、圓P與直線l相交，且有一個交點，如圖3；③圓P與直線l相離，如圖4．

理由如下：

圖1，解法：根據第二步作法可得直線a是線段MN的中垂線a， ∵半徑PM=PN；

∴點P在線段MN的中垂線； ∴點P在直線a上；

圖2，解法：同第一題解法一樣；

圖3，圓P與直線l交點M，N重合，不符合要求，因此不予討論；

圖4中的圓P不能與直線l相交于點M、N兩點，因此不能做出直線a．

(2)、根據第一題的情況分析得出線段PE要大于點P到直線的距離．

(3)、正確．根據點E和點D在直線PH的同側（如圖6）或異側（如圖5）兩種畫法如下：

圖5理由： 連接MN，可得MN∥BF， ∴∠MNE=∠NED， ∴=， ∴∠NMD=∠MNE，

∴MH=NH， 由△PMH≌△PNH， ∴∠MPH=∠NPH， ∴PH平分弧MN，即PH垂直ED，

所以PH就是所求的垂線；

圖⑥理由：同圖⑤證明．

（4）、第一種方法，如圖7：

原理：利用直徑所對的圓周角是直角，即直徑PE所對的∠PBE是直角．

作法：在直線l上取一點E，連接PE，取線段PE中點O，以點O為圓心，線段PO為半徑作圓，交直線于點B，作直線PB就是所求的直線a；

第二種方法，如圖8：原理：由半徑PE=BE可得點E在線段PB的中垂線上，同理可得點A在線段BP的中垂線上，所以直線l是線段BP的中垂線，即直線BP就是所求的直線a；

作法：在直線l上取點E和點A，然后以點E為圓心，線段PE為半徑作圓，再以點A為圓心，線段PA為半徑作圓，兩圓相交于點P和點B．直線BP就是所求的直線a．