Question

【題目】某企業積極響應政府“創新發展”的號召，研發了一種新產品．已知研發、生產這種產品的成本為30元/件，且年銷售量y(萬件)關于售價x(元/件)的函數解析式為：

(1)若企業銷售該產品獲得的利潤為W(萬元)，請直接寫出年利潤W(萬元)關于售價x(元/件)的函數解析式；

(2)當該產品的售價x(元/件)為多少時，企業銷售該產品獲得的年利潤最大?最大年利潤是多少?

(3)若企業銷售該產品的年利潤不少于750萬元，試確定該產品的售價x(元/件)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）年利潤W(萬元)關于售價x(元/件)的函數解析式為；

（2）當該產品的售價定為50元／件時，銷售該產品的年利潤最大，最大利潤為800萬元；

（3）要使企業銷售該產品的年利潤不少于750萬元，該產品的銷售價x(元/件)的取值范圍為45≤x≤55.

【解析】（1）根據：年利潤=（售價﹣成本）×年銷售量，結合x的取值范圍可列函數關系式；

（2）將（1）中兩個二次函數配方后依據二次函數的性質可得其最值情況，比較后可得答案；

（3）根據題意知W≥750，可列關于x的不等式，求解可得x的范圍．

解：(1)

(2)由(1)知，當40≤x＜60時， ．

∵-2<0，∴當x=50時,W有最大值800．

當60≤x≤70時， .

∵-1＜0， ∴當60≤x≤70時，W隨x的增大而減小.

∴當x=60時，W有最大值600．

∴當該產品的售價定為50元／件時，銷售該產品的年利潤最大，最大利潤為800萬元．

(3)當40≤x＜60時，令W=750，得

-2(x-50)2+800=750,解之，得

由函數的性質可知，

當45≤x≤55時，W≥750．

當60≤x≤70時，W最大值為600＜750.

所以，要使企業銷售該產品的年利潤不少于750萬元，該產品的銷售價x(元/件)的取值范圍為45≤x≤55.

“點睛”本題主要考查二次函數的實際應用，梳理題目中的數量關系，得出相等關系后分情況列出函數解析式，熟練運用二次函數性質求最值是解題的關鍵.