Question

【題目】請閱讀材料并填空：

如圖1，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC的度數和等邊三角形ABC的邊長．

李明同學的思路是：

將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形（如圖2）．連接PP′．

（1）根據李明同學的思路，進一步思考后可求得∠BPC= °，等邊△ABC的邊長為 ．

（2）請你參考李明同學的思路，探究并解決下列問題：

如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA= ，BP= ，PC=1．求∠BPC的度數和正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】(1)150, ;(2) ∠BPC=135°, 正方形邊長為．

【解析】（1）∠BPC=150°， ………………2分

等邊△ABC的邊長為 . ………………4分

( 2) 如圖，

將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得△BP′A，則△BPC≌△BP′A．

∴AP′=PC=1，BP=BP′=；

連接PP′，

在Rt△BP′P中，

∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，

∴PP′=2，∠BP′P=45°； ………………6分

在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，

∵，即AP′2+PP′2=AP2；

∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，

∴∠AP′B=135°，

∴∠BPC=∠AP′B=135°． ………………8分

過點B作BE⊥AP′，交AP′的延長線于點E；則△BEP′是等腰直角三角形，

∴∠EP′B=45°，

∴EP′=BE=1，

∴AE=2；

∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=； ………………10分

∴∠BPC=135°，正方形邊長為．