Question

如圖所示，已知正方形ABCD邊長為4，點M、N分別在邊BC、CD上（點M、N都不與點B、C、D重合），且AM⊥MN．
（1）求證：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）求證：△AMN不可能是等腰直角三角形；
（3）探究：當BM取何值時，以A，M，N為頂點的三角形與△ABM相似？并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
而∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）證明：若△AMN是等腰直角三角形時，AM=MN．
∵由（1）知，Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴==1，
∴AB=MC，
∴點M與點B重合，點N與點C重合，這與已知條件“點M、N都不與點B、C、D重合”相矛盾，
∴△AMN不可能是等腰直角三角形；

（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必須有=，即=，
∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴=，
∴BM=MC，
∴當點M運動到BC的中點時，Rt△ABM∽Rt△AMN，此時BM=2．
分析：（1）根據正方形的性質得∠B=∠C=90°，∠AMB+∠BAM=90°，又∠AMN=90°，則∠AMB+∠NMC=90°，得到∠BAM=∠NMC，根據相似三角形的判定即可得到結論；
（2）若△AMN是等腰直角三角形時，相似Rt△ABM與Rt△MCN的對應邊不成比例；
（3）①已知了這兩個三角形中相等的對應角是∠ABM和∠AMN，如果要想使Rt△ABM∽Rt△AMN，那么兩組直角邊就應該對應成比例，即AM：MN=AB：BM，根據（1）的相似三角形可得出
AM：MN=AB：MC，因此BM=MC，M是BC的中點．即BM=2．
②同理，當
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組內角分別對應相等的兩三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．