Question

如圖①，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為M（2，-3），且經過點A（0，1），直線y=x+1與拋物線交于A點和B點．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求△ABM的面積；
（3）如圖②，點P是x軸上的一動點，請探索：
①過點P作PQ∥AB，交BM于點Q，連接AQ，AP，當△APQ的面積最大時，求P的坐標．
②是否存在點P，使得△PAB是直角三角形？若存在，求出所有的點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標為M（2，-3），
∴設y=a（x-2）²-3，將點A（0，1）代入得，
1=4a-3，
∴a=1
∴y=（x-2）²-3；

（2）當y=0時，0=x+1，
∴x=-1，∴D（-1，0）
把y=x+1代入y=（x-2）²-3，得

x+1=(x-2)2-3

，
解得：x₁=0，x₂=5，
如圖1，過點M作MN∥y軸交AB于點N，過點A作AF⊥MN于點F，過點B作BE⊥MN與點E，
當x=2時，y=x+1=3，
∴MN=6，
∴S_△ABM=S_△AMN+S_△BMN=

MN×AF

2

+

MN×BE

2

=

1

2

×6×5=15；

（3）①，
∵B（5，6），A（-1，0）
∴BD=6

2

設MB所在直線的解析式為y=kx+b，
把點B，點M則：

6=5k+b -3=2k+b

∴

k=3 b=-9

，
∴MB所在直線的解析式為：y=3x-9，
∴N（3，0），
∴ND=3-（-1）=4
設P（x，0），則PN=3-x
∵PQ∥AB，
∴△NQP∽△NBD，
∴

PQ

BD

=

PN

DN

，
∴

PQ

6 2

=

3-x

4

，
∴PQ=

3 2 (3-x)

2

，
如圖2，過點P作PC⊥AB于點C，
∵直線y=x+1交x軸于點（-1，0），
∴∠ADO=45°，
∴Rt△PCD為等腰Rt△，
CP=

2

2

DP=

2

2

(x+1)，
∴△APQ的面積=

1

2

×

3 2 (3-x)

2

×

2

2

（x+1）=-

3

4

（x²-2x-3）=-

3

4

（x-1）²+3，
∴x=1時，S的值最大，
此時點P（1，0）；
②分三種情況討論：
Ⅰ．當∠BAP=90°，如圖3，
∵∠DAP=∠HDB，∠BHD=∠DAP，
∴△DAP∽△DHB，
∴

DP

DB

=

DA

DH

，
∴

DP

6 2

=

2

6

，
∴解得：DP=2，
∴OP=1，
∴P₁（1，0），

Ⅱ．當∠APB=90°時，如圖4，
∵∠APO+∠BPH=90°，∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠BPH，
∵∠AOP=∠PHB=90°，
∴△AOP∽△PHB，
∴

AO

PH

=

PO

BH

，
∴

1

5-OP

=

OP

6

，
解得：OP=2或3，
∴P₂（2，0），P₃（3，0），

Ⅲ．當∠ABP=90°時，如圖5，
∵∠BDP=∠ODA，∠DBP=∠AOD=90°，
∴△AOD∽△PBD，
∴

OD

BD

=

AD

PD

，
∴

1

6 2

=

2

PD

，
解得：PD=12，
∴OP=11，
P₄（11，0），
綜上所述：P點坐標為：（1，0），（2，0），（3，0），（11，0）．