Question

（2013•寧夏）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交C點，點A的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，3）它的對稱軸是直線x=-

1

2

（1）求拋物線的解析式；
（2）M是線段AB上的任意一點，當△MBC為等腰三角形時，求M點的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的對稱軸得到拋物線的頂點式，然后代入已知的兩點理由待定系數法求解即可；
（2）首先求得點B的坐標，然后分CM=BM時和BC=BM時兩種情況根據等腰三角形的性質求得點M的坐標即可．

解答：解：（1）設拋物線的解析式y=a(x+

1

2

)2+k
把A（2，0）、C（0，3）代入得：

25 4 a+k=0 1 4 a+k=3

解得：

a=- 1 2 k= 25 8

∴y=-

1

2

(x+

1

2

)2+

25

8

即y=-

1

2

x2-

1

2

x+3

（2）由y=0得  -

1

2

(x+

1

2

)2+

25

8

=0
∴x₁=2，x₂=-3
∴B（-3，0）
①CM=BM時
∵BO=CO=3  即△BOC是等腰直角三角形
∴當M點在原點O時，△MBC是等腰三角形
∴M點坐標（0，0）
②BC=BM時
在Rt△BOC中，BO=CO=3，
由勾股定理得BC=

OC2+OB2

∴BC=3

2

，
∴BM=3

2

∴M點坐標（3

2

-3，0)

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，第一問考查了待定系數法確定二次函數的解析式，較為簡單．第二問結合二次函數的圖象考查了等腰三角形的性質，綜合性較強．