Question

【題目】正方形ABCD的邊長為4，P為BC邊上的動點，連接AP，作PQ⊥PA交CD邊于點Q．當點P從B運動到C時，線段AQ的中點M所經過的路徑長（　　）

A. 2 B. 1 C. 4 D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

分析: 由題意知：PQ⊥AP，即：∠APB+∠QPC=90°，∠BAP+∠APB=180°-∠B=90°，所以∠QPC=∠BAP，又∠B=∠C，即：△ABP∽△PCQ，由相似三角形的性質可得：=，CQ=×BP，又BP=x，PC=BC-BP=4-x，AB=4，將其代入該式求出CQ的值即可，利用“配方法”求該函數的最大值．易知點O的運動軌跡是O′→O→O′，CQ最大時，OO′=CQ=.

詳解: 如圖，連接AC，設AC的中點為O′，AQ的中點為O．設BP的長為xcm，CQ的長為ycm．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠C=90°

∵PQ⊥AP，

∴∠APB+∠QPC=90°

∠APB+∠BAP=90°

∴∠BAP=∠QPC

∴△ABP∽△PCQ

∴=，即，

∴y=-x2+x=-（x-2）2+1（0＜x＜4）；

∴當x=2時，y有最大值1cm．

易知點O的運動軌跡是O′→O→O′，CQ最大時，OO′=CQ=，

∴點O的運動軌跡的路徑的長為2OO′=1，

故答案為1.

點睛: 本題主要考查正方形的性質、二次函數的應用、三角形的中位線定理等知識，關鍵在于理解題意運用三角形的相似性質求出y與x之間的函數關系，學會探究點O的運動軌跡.