Question

如圖，反比例函數y=

k

x

在第一象限內的圖象上有點A、B，已知點A（3m，m）、點B（n，n+1）（其中m＞0，n＞0），OA=2

10

．
（1）求A、B點的坐標及反比例函數解析式；
（2）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點，以A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出符合條件的M、N點的坐標，并畫出相應的平行四邊形．

Answer 1

分析：（1）先由點A的坐標為（3m，m）及OA=2

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，根據兩點間距離公式列出關于m的方程，解方程求出m的值，再運用待定系數法得到k的值，然后將B點坐標代入，即可求出n的值；
（2）設M點坐標為（a，0），N點坐標為（0，b）．分兩種情況：①當M點和A點相鄰時；②當M和B點相鄰時．針對每一種情況，都可以根據平行四邊形的對角線互相平分的性質及中點坐標公式求解．

解答：解：（1）∵A（3m，m），OA=2

10

，
∴(3m)2+m2=(2

10

)2，且m＞0．
解得m=2．
∴A的坐標為（6，2）．
又∵點A在y=

k

x

的圖象上，
∴k=6×2=12．
∴反比例函數解析式為y=

12

x

．
∵點B（n，n+1）（其中n＞0）在y=

12

x

的圖象上，
∴n（n+1）=12．
解得n₁=3，n₂=-4（不合題意，舍去）．
∴點的坐標為B（3，4）；

（2）設M點坐標為（a，0），N點坐標為（0，b），如圖．
分兩種情況：
①當M點和A點相鄰時．
∵M₁ABN₁是平行四邊形，
∴M₁B與AN₁互相平分，即M₁B的中點與AN₁的中點重合，
∴

a+3

2

=

0+6

2

，

0+4

2

=

b+2

2

，
∴a=3，b=2，
∴M₁（3，0），N₁（0，2）；
②當M和B點相鄰時．
∵N₂ABM₂是平行四邊形，
∴M₂A與BN₂互相平分，即M₂A的中點與BN₂的中點重合，
∴

a+6

2

=

0+3

2

，

b+4

2

=

0+2

2

，
∴a=-3，b=-2，
∴M₂（3，0），N₂（0，-2）．
綜上可知，符合條件的M、N點的坐標分別為M₁（3，0），N₁（0，2）或M₂（-3，0），N₂（0，-2）．

點評：本題考查了運用待定系數法求反比例函數的解析式，反比例函數的性質及平行四邊形的性質，兩點間距離公式及中點坐標公式，綜合性較強，有一定難度，注意分類討論思想的運用．