Question

【題目】如果一個四位自然數的百位數字大于或等于十位數字，且千位數字等于百位數字與十位數字的和，個位數字等于百位與十位數字的差，則我們稱這個四位數為親密數，例如：自然數4312，其中3＞1，4=3+1，2=3-1，所以4312是親密數；
（1）最小的親密數是 ，最大的親密數是 ；
（2）若把一個親密數的千位數字與個位數字交換，得到的新數叫做這個親密數的友誼數，請證明任意一個親密數和它的友誼數的差都能被原親密數的十位數字整除；
（3）若一個親密數的后三位數字所表示的數與千位數字所表示的數的7倍之差能被13整除，請求出這個親密數．

Answer 1

【答案】（1）1101，9909；（2）證明見解析；（3）親密數為5321或9817．

【解析】

（1）設親密數為 ，求最小的親密數時，先確定a=1，再根據a=b+c，d=b﹣c確定b、c、d的值，從而可得最小的親密數；求最大的親密數時，先確定a=9，同理可得最大的親密數；

（2）分別表示親密數和友誼數：親密數：=1000a+100b+10c+d，友誼數： =1000d+100b+10c+a，相減后可得結論；

（3）根據題意表示 ﹣7a=100b+10c+d﹣7a，化為關于b和c的代數式，根據b是1至9的自然數對：94b+2c進行分析，=7b+為整數，即3b+2c為13的倍數，分情況討論3b+2c的值可得結論．

設親密數為，且b≥c，a=b+c，d=b-c，a、b、c、d都是自然數，
（1）當a為最小時，則a=1，
∴b+c=a=1，
∵b≥c，
∴b=1，c=0，
∴d=b-c=1-0=1，
∴最小的親密數是1101，
當a最大時，即a=9，
∴b+c=a=9，
∵b≥c，
當最大時，即b最大為9，
∴c=0，
∴d=b-c=9-0=9，
∴最大的親密數是9909，
故答案為：1101，9909；
（2）證明：親密數：=1000a+100b+10c+d①，
友誼數：=1000d+100b+10c+a②，
∵a=b+c，d=b-c，
∴a-d=（b+c）-（b-c）=2c＞0，
∴a＞d，a=2c+d，
①-②得：999a-999d=999（a-d）=999（2c+d-d）=1998c，
∵原親密數的十位數字為c，
∴任意一個親密數和它的友誼數的差都能被原親密數的十位數字整除；
（3）=100b+10c+d，
∵a=b+c，d=b-c，
∴-7a=100b+10c+d-7a=100b+10c+b-c-7（b+c）=94b+2c，
由題意得：為整數，
即3b+2c為13的倍數，
∵0≤b≤9，0≤c≤9，b、c為整數，且1≤b+c≤9，
∴2≤3b+2c≤27，
∴3b+2c=13或26，
①當3b+2c=13時（b≥c），
得，
∴親密數為5321；
②若3b+2c=26（b≥c），
則，
∴親密數為9817，
綜上所述，親密數為5321或9817．