Question

【題目】如圖, 在等邊△ABC中, D, E, F分別為邊AB, BC, CA上的點, 且滿足∠DEF=60°．

（1）求證：；

（2）若DE⊥BC且DE=EF, 求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）由等邊三角形的性質可知∠B=∠C=60°，再由已知條件和三角形外角的性質可證明∠BDE=∠FEC，進而證明△DBE∽△ECF，根據相似三角形的性質即可得出結論．

（2）由相似三角形的性質和已知條件得出BD=CE，由含30°角的直角三角形的性質得出BEBD，即可得出結果．

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

又∵∠DEF=60°，

∴∠DEF=∠B．

∵∠DEC是△DBE的外角，

∴∠DEC=∠B+∠BDE，

即∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE．

∵∠DEF=∠B，

∴∠BDE=∠CEF，

又∵∠B=∠C，

∴△BDE∽△CEF，

∴，

∴BECE=BDCF；

（2）∵△BDE∽△CEF，

∴，

又∵DE=EF，即，

∴BD=CE．

∵DE⊥BC，

∴∠DEB=90°．

∵∠B=60°，

∴∠BDE=30°，

∴BEBD，

∴．