Question

【題目】已知二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象經過點（2，-5），頂點坐標為（-1，4），直線l的解析式為y=2x+m.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若拋物線與直線l有兩個公共點，求的取值范圍；

（3）若直線l與拋物線只有一個公共點P，求點P的坐標；

（4）設拋物線與軸的交點分別為A、B，求在（3）的條件下△PAB的面積.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）當m＜7時，拋物線與直線l有兩個公共點；（3）點P的坐標為（-2，3）；（4）SPAB=6．

【解析】

（1）由拋物線頂點坐標可得二次函數y=a（x+1）2+4，將點（2，-5）代入，即可得到拋物線的解析式，

（2）由拋物線的解析式及直線l的解析式聯立，利用△即可求出拋物線與直線l有兩個公共點m的取值范圍，

（3）由拋物線的解析式及直線l的解析式聯立，利用△=0時求出m的值，再聯立即可求出點P的坐標，

（4）拋物線的解析式求出AB的長，利用S△PAB=ABP縱坐標，即可求出△PAB的面積．

解：（1）∵拋物線頂點坐標為（-1，4），

∴它的解析式為y=a（x+1）2+4，將點（2，-5）代入，得a=-1．

∴拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3．

（2）由 ，

得x2-4x+m-3=0，

∴△=16-4（m-3）=-4m+28．

當-4m+28＞0時，解得m＜7．

即當m＜7時，拋物線與直線l有兩個公共點．

（3）由（2）知：當拋物線與直線l只有一個公共點時，m=7，

由

解得，

即點P的坐標為（-2，3）．

（4）∵拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3．拋物線與x軸的交點分別為A、B，

∴令0=-x2-2x+3，得x1=-3，x2=1，

∴AB=4，

∴S△PAB=ABP縱坐標=×4×3=6．