Question

如圖：在△ABC中，BC=2AB=4，AD為邊BC上的中線，E、F分別為BC、AB上的動點，且CE=BF，EF與AD交于點G．FH⊥AG于H
（1）①如圖1，當∠B=90°時，FG

=

EG；GH=

2

．
②如圖2，當∠B=60°時，FG

=

EG；GH=

1

．
③如圖3，當∠B=α時，FG

=

EG；GH=

1

2

AD

．
請你先填上空，再從以上三個命題中任選擇一個進行證明
（2）如圖4，若（1）中的點E、F分別在BC、AB的延長線上，試問（1）中的結論是否仍然成立．若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）①由條件可以求出AB=BD，AF=DE，從而得出∠BAD=∠BDA=45°，求出AD的值，作FQ∥BC，利用平行線的性質得出AF=FQ，根據等腰三角形的性質可以得出AH=HQ，可以證明△FQG≌△EDG，FG=EG，通過計算可以求出GH=

2

．
②）由條件可以求出AB=BD，AF=DE，從而得出∠BAD=∠BDA=60°，求出AD的值，作FR∥BC，利用平行線的性質得出AF=FR，根據等腰三角形的性質可以得出AH=HR，可以證明△FRG≌△EDG，FG=EG，通過計算可以求出GH=1．
③）由條件可以求出AB=BD，AF=DE，從而得出∠BAD=∠BDA=45°，求出AD的值，作FS∥BC，利用平行線的性質得出AF=FS，根據等腰三角形的性質可以得出AH=HS，可以證明△FSG≌△EDG，FG=EG，通過計算可以求出GH=

1

2

AD．
（2）作EM⊥AD的延長線于M，由條件可以知道∠1=∠3，有∠2=∠3，AF=DE，可以證明Rt△AHF≌△EMD，得出FH=EM，進而可以得出△FHG≌△EMG，HG=GM，FG=GE，進而得出GH=

1

2

AD．

解答：解：（1）①∵AD為邊BC上的中線，
∴BD=DC=

1

2

BC，
∵BC=2AB=4，
∴BD=DC=AB=2，
∴∠BAD=∠BDA．
∵∠B=90°，
∴由勾股定理，得AD=2

2

，
作FQ∥BC，交AD于Q，
∴∠BDA=∠AQF，
∴∠BAD=∠AQF，
∴AF=FQ，
∵FH⊥AG，
∴AH=HQ，
∵CE=BF，
∴AF=DE，
∴△FQG≌△EDG，
∴FG=EG，QG=GD，
∵AH=HQ，
∴HG=

1

2

AD=

2

，
②∵AD為邊BC上的中線，
∴BD=DC=

1

2

BC，
∵BC=2AB=4，
∴BD=DC=AB=2，
∵∠B=60°，
∴△AFR是等邊三角形，
∴AD=2，
作FR∥BC，交AD于Q，
∴∠BDA=∠ARF，∠FGR=∠GDE，∠FGR=∠DGE，
∴∠BAD=∠ARF，
∴AF=FR，
∵FH⊥AG，
∴AH=HR，
∵CE=BF，
∴AF=DE，
∴△FRG≌△EDG，
∴FG=EG，RG=GD，
∵AH=HR，
∴HG=

1

2

AD=1，
③∵AD為邊BC上的中線，
∴BD=DC=

1

2

BC，
∵BC=2AB=4，
∴BD=DC=AB=2，
∴∠BAD=∠BDA
作FS∥BC，交AD于Q，
∴∠BDA=∠ASF，∠FGS=∠GDE，∠FGS=∠DGE，
∴∠BAD=∠ASF，
∴AF=FS，
∵FH⊥AG，
∴AH=HS，
∵CE=BF，
∴AF=DE，
∴△FSG≌△EDG，
∴FG=EG，SG=GD，
∵AH=HS，
∴HG=

1

2

AD，

（2）∵AD為邊BC上的中線，
∴BD=DC=

1

2

BC，
∵BC=2AB=4，
∴BD=DC=AB=2，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3
∵CE=BF，
∴AF=ED，
作EM⊥AD的延長線于M，
∴∠M=90°，
∵FH⊥AG，
∴∠AHF=∠GHF=∠M=90°，
∴Rt△AHF≌△EMD
∴FH=EM，
∵∠FGH=∠EGM，
∴△FHG≌△EMG，
∴HG=GM，FG=GE
∵AD=DM+HD，
∴AD=DG+GM+HD，
∴AD=DG+HD+DG+HD，
∴AD=2（DG+HD）
∴AD=2HG
即HG=

1

2

AD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，等腰三角形的角平分線、高、中線的性質，平行線的性質，勾股定理的運用．