Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E為AB邊的中點，以BE為邊作等邊△BDE，連接AD，CD．

（1）求證：△ADE≌△CDB；

（2）若BC＝1，在AC邊上找一點H，使得BH+EH最小，并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質,三邊相等,各角為60°,與直角三角形的性質,和斜邊上的中線等于斜邊的一半的定理,可得AE＝DE＝DB＝BC，∠DBC＝∠AED＝120°,即可證明.

（2）根據軸對稱的性質和兩點之間線段最短的公理,做出B點關于AC的對稱點B′, 連接B′E,通過計算求出即可.

如圖：

（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴BC＝AB．∠ABC＝60°．

∵E為AB邊的中點，

∴AE＝BE，

∵△BDE是等邊三角形，

∴BE＝BD＝DE，∠DBE＝∠DEB＝60°，

∴AE＝DE＝DB＝BC，∠DBC＝∠AED＝120°，

∴△ADE≌△CDB（SAS）．

（2）作點B關于AC的對稱點B′，連接B′E交AC于點H，

此時BH＝B′H，B′E＝B′H+HE＝BH+HE最小．

∵BC＝1，BB′＝2，∴B′H＝．

答：這個最小值為．