Question

如圖1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=．
探究：如圖1，AH⊥BC于點H，則AH=       ，AC=    ，△ABC的面積S_△ABC=      ；
拓展：如圖2，點D在AC上（可與點A，C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F，設BD=x，AE=m，CF=n（當點D與點A重合時，我們認為S_△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代數式表示S_△ABD及S_△CBD；
（2）求（m+n）與x的函數關系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，指出這樣的x的取值范圍．
發現：請你確定一條直線，使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最小（不必寫出過程），并寫出這個最小值．

Answer 1

探究：12；15；84
拓展：（1）    
（2）當時，的最大值為15，當時，的最小值為12
（3）或
發現：直線AC，A、B、C三點到這條直線的距離之和最小，最小值為

探究：在Rt△ABH中，AB=13，，∴BH=AB。
∴根據勾股定理，得。
∵BC=14，∴HC=BC－BH=9。∴根據勾股定理，得。
∴。
拓展：（1）直接由三角形面積公式可得。
（2）由（1）和即可得到關于x的反比例函數關系式。根據垂直線段最短的性質，當BD⊥AC時，x最小，由面積公式可求得；因為AB=13，BC=14，所以當BD=BC=14時，x最大。從而根據反比例函數的性質求出m+n）的最大值和最小值。
（3）當時，此時BD⊥AC，在線段AC上存在唯一的點D；當時，此時在線段AC上存在兩點D；當時，此時在線段AC上存在唯一的點D。因此x的取值范圍為或。
發現：由拓展（2）知，直線AC，A、B、C三點到這條直線的距離之和（即△ABC中AC邊上的高）最小，最小值為（它小于BC邊上的高12和AB邊上的高）。
解：探究：12；15；84。
拓展：（1）由三角形面積公式，得
，。
（2）由（1）得，，
∴
∵△ABC中AC邊上的高為，
∴x的取值范圍為。
∵隨x的增大而減小，
∴當時，的最大值為15，當時，的最小值為12。
（3）x的取值范圍為或。
發現：直線AC，A、B、C三點到這條直線的距離之和最小，最小值為。