Question

如圖，在△ABC中，E、F分別是AB、AC上的點．有下列條件：①AD平分∠BAC；②DE⊥AB，DF⊥AC；③AD⊥EF，以此三個中的兩個作為命題的條件，另一個作為命題的結論，構成三個命題：①②?③；①③?②；②③?①．
（1）以上三個命題中，屬于真命題的是

①②?③或②③?①

．
（2）請選擇一個真命題進行證明命題（先寫出所選命題，然后證明）．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的性質判斷即可；
（2）根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DE=DF，再利用“HL”證明Rt△ADE和△Rt△ADF全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=AF，然后利用等腰三角形三線合一的性質證明．

解答：（1）解：真命題是①②?③或②③?①；

（2）證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和△Rt△ADF中，

AD=AD DE=DF

，
∴Rt△ADE≌△Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
又∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF．

證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC；
∴點A，E，D，F共圓，且AD是直徑，
∵AD⊥EF，
∴

DE

=

DF

，
∴∠EAD=∠FAD，
即AD平分∠BAC．

點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質是解題的關鍵，難點在于先確定出真命題．